Um cubo de aresta l está carregado com uma densidade volumétrica de carga que depende apenas da coordenadas x, da seguinte forma: rho(x)=rho0 sen(pi x / l), ^1 com 0 <= x <= l, sendo rho0 uma constante e x, a distância perpendicular a uma das faces do cubo. Determine a carga total do cubo.

  1. ^1 Não confundir o rho usado para representar densidade volumétrica de carga com o usado no sistema de coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado nos dá um cubo de aresta l cuja densidade volumétrica de carga varia apenas na direção x segundo
rho(x)=rho0,sin!l(tfracpi xlr), 0<= x<= l
O conteúdo é cálculo de carga total usando integração tripla, com a fórmula
Q=integralVrho,dV

Passo 2

Escrevemos a integral tripla em coordenadas cartesianas alinhadas com o cubo:
Q=integral0^l!integral0^l!integral0^lrho(x),dz,dy,dx

Passo 3

Como rho não depende de y nem de z, as integrais internas em y e z dão simplesmente um fator l^2:
Q=rho0,l^2integral0^lsin!l(tfracpi xlr),dx

Passo 4

Para calcular integral0^lsin!l(tfracpi xlr),dx usamos
integralsin!l(tfracpi xlr),dx =-lpicos!l(tfracpi xlr),
avaliando de 0 a l:
integral0^lsin!l(tfracpi xlr),dx =-lpil[cos(pi)-cos(0)r] =-tfraclpi[-1-1] =2,lpi

Passo 5

Substituindo de volta em Q:
Q=rho0,l^2,2,lpi =2,rho0,l^3pi

Resposta

Q=2,rho0,l^3pi

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