15.59 … PC Uma barra uniforme de 1,80 \mathrm{~m} de extensão, pesando 638 N , é suspensa em uma posição horizontal por dois fios verticais presos ao teto. Um fio é de alumínio e o outro é de cobre. O fio de alumínio está preso à extremidade esquerda da barra, enquanto o fio de cobre está preso 0,40 \mathrm{~m} à esquerda da extremidade direita. Cada fio possui 0,600 \mathrm{~m} de extensão e uma seção transversal circular com raio de 0,280 \mathrm{~mm}. Qual é a frequência fundamental das ondas estacionárias transversais para cada fio?

Passo 1

O enunciado dá uma barra uniforme de extensão \,1,80\\ \mathrm{m}\, e peso \,638\\ \mathrm{N}\, suspensa horizontalmente por dois fios verticais de mesmo comprimento \,0,600\\ \mathrm{m}\, e seção circular com raio \,0,280\\ \mathrm{mm}\,. O fio de alumínio está preso na extremidade esquerda da barra (posição x=0) e o fio de cobre está preso a 0,40\\ \mathrm{m} à esquerda da extremidade direita da barra; como a barra tem 1,80\\ \mathrm{m}, isso coloca o ponto de fixação do cobre em x=1,80-0,40=1,40\\ \mathrm{m} medidos a partir da esquerda. A barra é uniforme, então seu centro de massa está em x=0,90\\ \mathrm{m}. Pergunta: determinar a frequência fundamental (primeiro modo) das ondas estacionárias transversais em cada fio (alumínio e cobre). Informações dadas, listadas:
\begin{aligned} &\text{comprimento da barra }=1,80\\ \mathrm{m},\\\ &\text{peso da barra }=638\\ \mathrm{N},\\\ &\text{comprimento de cada fio }L=0,600\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio de cada fio }r=0,280\\ \mathrm{mm}=2,80\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{posição do fio de alumínio }x_{\text{Al}}=0,\\\ &\text{posição do fio de cobre }x_{\text{Cu}}=1,40\\ \mathrm{m},\\\ &\text{centro de massa da barra }x_{\text{CM}}=0,90\\ \mathrm{m}.\\\ \end{aligned}çãíçã
Objetivo: encontrar \,f_{\text{fund,Al}} e \,f_{\text{fund,Cu}}.

Passo 2

Primeiro passo físico: achar as tensões nos fios. A barra está em equilíbrio estático: soma das forças verticais nulas e soma dos momentos nulos. Chamando de \,T_{\text{Al}} a tensão no fio de alumínio e \,T_{\text{Cu}} a tensão no fio de cobre, temos equilíbrio vertical:
T_{\text{Al}}+T_{\text{Cu}}=638\\ \mathrm{N}.
Para encontrar separadamente as tensões usamos equilíbrio de torques (momentos). Escolho tomar momentos em torno do ponto de fixação do fio de alumínio (em x=0), assim o torque do T_{\text{Al}} tem braço zero. O peso de 638\\ \mathrm{N} atua no centro de massa em x=0,90\\ \mathrm{m} e tende a girar no sentido que o T_{\text{Cu}} contrabalança. Portanto:
T_{\text{Cu}}\cdot 1,40 = 638\cdot 0,90.
Dessa equação obtém-se T_{\text{Cu}}; então T_{\text{Al}}=638-T_{\text{Cu}}.

Passo 3

Calcule T_{\text{Cu}} e T_{\text{Al}} numericamente:
T_{\text{Cu}}=\frac{638\cdot 0,90}{1,40}=\frac{574,2}{1,40}=410,142857\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
T_{\text{Cu}}\approx 410,14\\ \mathrm{N}.
E
T_{\text{Al}}=638-410,142857=227,857143\\ \mathrm{N}\approx 227,86\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Agora precisamos da velocidade das ondas em cada fio, que depende da tensão e da massa por unidade de comprimento do fio. A massa linear \mu de um fio é
\mu=\rho A,
onde \rho é a densidade do material e A a área da seção transversal circular do fio:
A=\pi r^2.
Converta o raio: r=2,80\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. Então
A=\pi(2,80\times10^{-4})^2=\pi\cdot 7,84\times10^{-8}\approx 2,462\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Precisamos das densidades típicas dos materiais (valores padrão de tabela):
\rho_{\text{Al}}\approx 2700\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_{\text{Cu}}\approx 8960\\ \mathrm{kg/m^3}.
Calcule as massas lineares:
\mu_{\text{Al}}=\rho_{\text{Al}}A=2700\cdot 2,462\times10^{-7}\approx 6,6474\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/m},
\mu_{\text{Cu}}=\rho_{\text{Cu}}A=8960\cdot 2,462\times10^{-7}\approx 2,20635\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}.
Explicando: \mu diz quantos quilogramas de fio há por metro de comprimento; fios mais densos (cobre) têm \mu maior.

Passo 6

Velocidade das ondas transversais em um fio esticado com tensão T e massa por comprimento \mu é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Isso vem da equação de onda linear para cordas: a aceleração transversal é proporcional à segunda derivada espacial, com constante T/\mu.
Calcule v para cada fio usando os T encontrados:
v_{\text{Al}}=\sqrt{\frac{T_{\text{Al}}}{\mu_{\text{Al}}}} =\sqrt{\frac{227,857143}{6,6474\times10^{-4}}} \approx 585,41\\ \mathrm{m/s},
v_{\text{Cu}}=\sqrt{\frac{T_{\text{Cu}}}{\mu_{\text{Cu}}}} =\sqrt{\frac{410,142857}{2,20635\times10^{-3}}} \approx 431,14\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: mesmo com tensão maior, o cobre tem velocidade menor que o alumínio se \mu for suficientemente maior; aqui a tensão do cobre é maior, mas sua massa linear é bem maior, então v_{\text{Cu}}<v_{\text{Al}}.

Passo 7

Frequência fundamental (primeiro modo) de uma corda fixa em ambas as extremidades (caso dos fios: superior preso ao teto e inferior preso à barra, praticamente fixos) é
f_1=\frac{v}{2L},
onde L é o comprimento do fio. Como L=0,600\\ \mathrm{m}, temos:
f_{\text{Al}}=\frac{v_{\text{Al}}}{2\cdot 0,600}=\frac{585,41}{1,20}\approx 487,84\\ \mathrm{Hz},
f_{\text{Cu}}=\frac{v_{\text{Cu}}}{2\cdot 0,600}=\frac{431,14}{1,20}\approx 359,28\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Pequeno incentivo: você montou o raciocínio completo — equilíbrio de forças/torques para achar tensões, cálculo da massa linear a partir da área e densidade, velocidade das ondas com v=\sqrt{T/\mu} e finalmente f_1=v/(2L). Com calma e prática esses passos viram procedimento de prova. Dá pra decorar a sequência: equilíbrio → tensões → \mu v f.

Resposta

Alumínio: 487,84\\ \mathrm{Hz}
Cobre: 359,28\\ \mathrm{Hz}

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