15.59 … PC Uma barra uniforme de
de extensão, pesando 638 N , é suspensa em uma posição horizontal por dois fios verticais presos ao teto. Um fio é de alumínio e o outro é de cobre. O fio de alumínio está preso à extremidade esquerda da barra, enquanto o fio de cobre está preso
à esquerda da extremidade direita. Cada fio possui
de extensão e uma seção transversal circular com raio de
. Qual é a frequência fundamental das ondas estacionárias transversais para cada fio?
Passo 1
O enunciado dá uma barra uniforme de extensão
e peso
suspensa horizontalmente por dois fios verticais de mesmo comprimento
e seção circular com raio
. O fio de alumínio está preso na extremidade esquerda da barra (posição
) e o fio de cobre está preso a
à esquerda da extremidade direita da barra; como a barra tem
, isso coloca o ponto de fixação do cobre em
medidos a partir da esquerda. A barra é uniforme, então seu centro de massa está em
. Pergunta: determinar a frequência fundamental (primeiro modo) das ondas estacionárias transversais em cada fio (alumínio e cobre). Informações dadas, listadas:
Objetivo: encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro passo físico: achar as tensões nos fios. A barra está em equilíbrio estático: soma das forças verticais nulas e soma dos momentos nulos. Chamando de
a tensão no fio de alumínio e
a tensão no fio de cobre, temos equilíbrio vertical:
Para encontrar separadamente as tensões usamos equilíbrio de torques (momentos). Escolho tomar momentos em torno do ponto de fixação do fio de alumínio (em
), assim o torque do
tem braço zero. O peso de
atua no centro de massa em
e tende a girar no sentido que o
contrabalança. Portanto:
Dessa equação obtém-se
; então
.
Passo 3
Calcule
e
numericamente:
Arredondando razoavelmente:
E
Passo 4
Agora precisamos da velocidade das ondas em cada fio, que depende da tensão e da massa por unidade de comprimento do fio. A massa linear
de um fio é
onde
é a densidade do material e
a área da seção transversal circular do fio:
Converta o raio:
. Então
Passo 5
Precisamos das densidades típicas dos materiais (valores padrão de tabela):
Calcule as massas lineares:
Explicando:
diz quantos quilogramas de fio há por metro de comprimento; fios mais densos (cobre) têm
maior.
Passo 6
Velocidade das ondas transversais em um fio esticado com tensão
e massa por comprimento
é dada por
Isso vem da equação de onda linear para cordas: a aceleração transversal é proporcional à segunda derivada espacial, com constante
.
Calcule
para cada fio usando os
encontrados:
Interpretação: mesmo com tensão maior, o cobre tem velocidade menor que o alumínio se
for suficientemente maior; aqui a tensão do cobre é maior, mas sua massa linear é bem maior, então
.
Passo 7
Frequência fundamental (primeiro modo) de uma corda fixa em ambas as extremidades (caso dos fios: superior preso ao teto e inferior preso à barra, praticamente fixos) é
onde
é o comprimento do fio. Como
, temos:
Passo 8
Pequeno incentivo: você montou o raciocínio completo — equilíbrio de forças/torques para achar tensões, cálculo da massa linear a partir da área e densidade, velocidade das ondas com
e finalmente
. Com calma e prática esses passos viram procedimento de prova. Dá pra decorar a sequência: equilíbrio → tensões →
→
→
.
Resposta
Alumínio:
Cobre:
Cobre: