Questão 4. (a)
Um certo resistor é classificado como sendo
, o que significa que, quando submetido a uma diferença de potencial de 220 V ele tem potência de 25 W . Determine a resistência elétrica desse resistor. (b)
Um capacitor de placas planas e paralelas é montado utilizando-se placas quadradas com
de aresta e separadas por um décimo de milímetro. Entre as placas é inserido titanato de estrôncio, cuja constante dielétrica vale 310. Determine a capacitância desse capacitor. (c)
O resistor e o capacitor dos itens anteriores são ligados em série, com o capacitor inicialmente descarregado, e uma bateria de
é ligada a essa associação. Determine o tempo que demora para que o capacitor adquira
de sua carga máxima. (d)
Durante o processo de carregamento, em qual instante a tensão (diferença de potencial) entre as placas do capacitor se iguala à tensão entre as extremidades do resistor?
Passo 1
Enunciado resumido (o que é dado e o que se pede):
-
(a) É dito que um resistor é classificado como
. Ou seja, quando submetido a uma diferença de potencial de ele dissipa . Pergunta: determinar a resistência elétrica desse resistor. -
(b) Um capacitor de placas paralelas usa placas quadradas de aresta
e separação . O dielétrico entre as placas tem constante dielétrica . Pergunta: determinar a capacitância do capacitor. -
(c) O resistor do item (a) e o capacitor do item (b) são ligados em série a uma bateria de
. O capacitor está inicialmente descarregado. Pergunta: determinar o tempo necessário para o capacitor atingir de sua carga máxima. -
(d) Durante o carregamento do capacitor, pergunta: em que instante a tensão entre as placas do capacitor é igual à tensão nos terminais do resistor?
Dados úteis que extraí do enunciado:
Passo 2
Resolvendo (a): como relacionar potência, tensão e resistência.
A fórmula que liga potência elétrica, tensão e resistência em um resistor é
onde
é a potência dissipada (em watts),
é a diferença de potencial aplicada ao resistor (em volts) e
é a resistência (em ohms). Essa fórmula vem de
e da Lei de Ohm
; substituindo
em
obtemos
.
Isolando
obtemos
Agora substituímos os valores dados:
e
.
Portanto a resistência do resistor é
.
Passo 3
Resolvendo (b): capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico.
A fórmula para a capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchido por um dielétrico homogêneo é
onde
é a capacitância (em farads),
é a constante dielétrica do material entre as placas (adimensional),
é a permissividade do vácuo
,
é a área de cada placa (em
) e
é a separação entre as placas (em metros).
Calculemos
e
em unidades SI:
- aresta
, então
- separação
.
Agora aplicamos a fórmula com
e
:
Façamos a conta por passos:
logo
Arredondando para três algarismos significativos,
Passo 4
Resolvendo (c): tempo para o capacitor atingir
da carga máxima num circuito
série.
No carregamento de um capacitor em série com um resistor e bateria
, a carga no capacitor como função do tempo é
onde
é a carga máxima (quando
),
é a resistência e
a capacitância. A constante de tempo do circuito é
. A expressão vem da solução da equação diferencial do circuito e é padrão para processos exponenciais.
Queremos
. Então
Isolando o termo exponencial:
Tomando logaritmo natural:
Agora calculamos numericamente usando
(do item a) e
(do item b):
Primeiro a constante de tempo:
Então
Arredondando:
Portanto demora aproximadamente
para o capacitor atingir
da carga máxima.
Passo 5
Resolvendo (d): instante em que
durante o carregamento.
No circuito série durante o carregamento temos, em função do tempo,
Essas fórmulas vêm do fato de que
(leis de Kirchhoff) e da expressão padrão da corrente
.
Queremos o instante
tal que
. Portanto
Cancelando
(não nulo) e rearrumando:
Logo
Tomando logaritmo natural,
Usando
(calculado no passo anterior),
Arredondando:
Portanto no instante
as tensões no capacitor e no resistor são iguais.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)