Questão 4. (a) (\mathbf{0 , 5}) Um certo resistor é classificado como sendo 220 V-25 W, o que significa que, quando submetido a uma diferença de potencial de 220 V ele tem potência de 25 W . Determine a resistência elétrica desse resistor. (b) (\mathbf{0 , 5}) Um capacitor de placas planas e paralelas é montado utilizando-se placas quadradas com 10,0 c m de aresta e separadas por um décimo de milímetro. Entre as placas é inserido titanato de estrôncio, cuja constante dielétrica vale 310. Determine a capacitância desse capacitor. (c) (\mathbf{0 , 7 5}) O resistor e o capacitor dos itens anteriores são ligados em série, com o capacitor inicialmente descarregado, e uma bateria de 12,0 V é ligada a essa associação. Determine o tempo que demora para que o capacitor adquira 90 \% de sua carga máxima. (d) (\mathbf{0 , 7 5}) Durante o processo de carregamento, em qual instante a tensão (diferença de potencial) entre as placas do capacitor se iguala à tensão entre as extremidades do resistor?

Passo 1

Enunciado resumido (o que é dado e o que se pede):
  • (a) É dito que um resistor é classificado como 220\\ \mathrm{V}-25\\ \mathrm{W}. Ou seja, quando submetido a uma diferença de potencial de 220\\ \mathrm{V} ele dissipa 25\\ \mathrm{W}. Pergunta: determinar a resistência elétrica desse resistor.
  • (b) Um capacitor de placas paralelas usa placas quadradas de aresta 10{,}0\\ \mathrm{cm} e separação 0{,}1\\ \mathrm{mm}. O dielétrico entre as placas tem constante dielétrica \kappa=310. Pergunta: determinar a capacitância do capacitor.
  • (c) O resistor do item (a) e o capacitor do item (b) são ligados em série a uma bateria de 12{,}0\\ \mathrm{V}. O capacitor está inicialmente descarregado. Pergunta: determinar o tempo necessário para o capacitor atingir 90\% de sua carga máxima.
  • (d) Durante o carregamento do capacitor, pergunta: em que instante a tensão entre as placas do capacitor é igual à tensão nos terminais do resistor?
Dados úteis que extraí do enunciado:
V_{\text{resistor (classif.)}}=220\\ \mathrm{V},\qquad P=25\\ \mathrm{W},
\text{aresta das placas}=10{,}0\\ \mathrm{cm},\qquad d=0{,}1\\ \mathrm{mm},\qquad \kappa=310,
V_{\text{bateria}}=12{,}0\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Resolvendo (a): como relacionar potência, tensão e resistência.
A fórmula que liga potência elétrica, tensão e resistência em um resistor é
P=\frac{V^{2}}{R},
onde P é a potência dissipada (em watts), V é a diferença de potencial aplicada ao resistor (em volts) e R é a resistência (em ohms). Essa fórmula vem de P=VI e da Lei de Ohm V=IR; substituindo I=V/R em P=VI obtemos P=V\cdot(V/R)=V^{2}/R.
Isolando R obtemos
R=\frac{V^{2}}{P}.
Agora substituímos os valores dados: V=220\\ \mathrm{V} e P=25\\ \mathrm{W}.
R=\frac{(220)^{2}}{25}=\frac{48400}{25}=1936\\ \Omega.
Portanto a resistência do resistor é \,1936\\ \Omega.

Passo 3

Resolvendo (b): capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico.
A fórmula para a capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchido por um dielétrico homogêneo é
C=\kappa\,\varepsilon_{0}\,\frac{A}{d},
onde C é a capacitância (em farads), \kappa é a constante dielétrica do material entre as placas (adimensional), \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, A é a área de cada placa (em \mathrm{m}^{2}) e d é a separação entre as placas (em metros).
Calculemos A e d em unidades SI:
  • aresta =10{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, então
A=(0{,}10)^{2}=0{,}01\\ \mathrm{m}^{2}.
  • separação d=0{,}1\\ \mathrm{mm}=0{,}1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos a fórmula com \kappa=310 e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
C=310\times(8{,}854\times10^{-12})\times\frac{0{,}01}{1\times10^{-4}}.
Façamos a conta por passos:
310\times8{,}854\times10^{-12}=2{,}74474\times10^{-9},
\frac{0{,}01}{1\times10^{-4}}=100,
logo
C=(2{,}74474\times10^{-9})\times100=2{,}74474\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
Arredondando para três algarismos significativos,
C\approx2{,}74\times10^{-7}\\ \mathrm{F}=274\\ \mathrm{nF}.

Passo 4

Resolvendo (c): tempo para o capacitor atingir 90\% da carga máxima num circuito R\!-\!C série.
No carregamento de um capacitor em série com um resistor e bateria V_{\text{b}}, a carga no capacitor como função do tempo é
q(t)=Q_{\max}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr),
onde Q_{\max}=C\,V_{\text{b}} é a carga máxima (quando t\to\infty), R é a resistência e C a capacitância. A constante de tempo do circuito é \tau=RC. A expressão vem da solução da equação diferencial do circuito e é padrão para processos exponenciais.
Queremos q(t)=0{,}9\,Q_{\max}. Então
0{,}9=1-e^{-t/(RC)}.
Isolando o termo exponencial:
e^{-t/(RC)}=1-0{,}9=0{,}1.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{RC}=\ln(0{,}1)\quad\Rightarrow\quad t=-RC\ln(0{,}1)=RC\ln(10).
Agora calculamos numericamente usando R=1936\\ \Omega (do item a) e C=2{,}74474\times10^{-7}\\ \mathrm{F} (do item b):
Primeiro a constante de tempo:
RC=1936\times2{,}74474\times10^{-7}=5{,}31382\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Então
t=RC\ln(10)=5{,}31382\times10^{-4}\times2{,}302585\approx1{,}2237\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
t\approx1{,}22\times10^{-3}\\ \mathrm{s}\quad(\text{aprox. }1{,}22\\ \mathrm{ms}).
Portanto demora aproximadamente 1{,}22\\ \mathrm{ms} para o capacitor atingir 90\% da carga máxima.

Passo 5

Resolvendo (d): instante em que V_{C}(t)=V_{R}(t) durante o carregamento.
No circuito série durante o carregamento temos, em função do tempo,
V_{C}(t)=V_{\text{b}}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr),
V_{R}(t)=i(t)R=V_{\text{b}}\,e^{-t/(RC)}.
Essas fórmulas vêm do fato de que V_{R}(t)+V_{C}(t)=V_{\text{b}} (leis de Kirchhoff) e da expressão padrão da corrente i(t)=(V_{\text{b}}/R)e^{-t/(RC)}.
Queremos o instante t tal que V_{C}(t)=V_{R}(t). Portanto
V_{\text{b}}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)=V_{\text{b}}\,e^{-t/(RC)}.
Cancelando V_{\text{b}} (não nulo) e rearrumando:
1-e^{-t/(RC)}=e^{-t/(RC)}\quad\Rightarrow\quad 1=2e^{-t/(RC)}.
Logo
e^{-t/(RC)}=\tfrac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural,
-\frac{t}{RC}=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln 2\quad\Rightarrow\quad t=RC\ln 2.
Usando RC=5{,}31382\times10^{-4}\\ \mathrm{s} (calculado no passo anterior),
t=5{,}31382\times10^{-4}\times0{,}693147\approx3{,}6839\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
t\approx3{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{s}\quad(\text{aprox. }0{,}368\\ \mathrm{ms}).
Portanto no instante t\approx0{,}368\\ \mathrm{ms} as tensões no capacitor e no resistor são iguais.

Resposta

(a) 1936\\ \Omega
(b) 2{,}74\times10^{-7}\\ \mathrm{F}
(c) 1{,}22\times10^{-3}\\ \mathrm{s}
(d) 3{,}68\times10^{-4}\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados