TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 22.2 Classifique as seguintes superfícies seguindo a ordem do fluxo elétrico mais positivo para o mais negativo. (i) Uma superfície retangular plana com vetor de área \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\left(6,0 \mathrm{~m}^{2}\right) \hat{\iota} em um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}= (4,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\jmath}; (ii) uma superfície circular plana com vetor de área \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\left(3,0 \mathrm{~m}^{2}\right) \hat{\jmath} em um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=(4,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\imath}+(2,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\jmath}; (iii) uma superfície quadrada plana com vetor de área \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\left(3,0 \mathrm{~m}^{2}\right) \hat{\imath}+\left(7,0 \mathrm{~m}^{2}\right) \hat{\jmath} em um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=(4,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\imath}- (2,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\jmath}; (iv) uma superfície oval plana com vetor de área \overrightarrow{\boldsymbol{A}}=\left(3,0 \mathrm{~m}^{2}\right) \hat{\imath}-\left(7,0 \mathrm{~m}^{2}\right) \hat{\jmath} \mathrm{em} um campo elétrico uniforme \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=(4,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\imath}-(2,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C}) \hat{\jmath} . \mathrm{I}

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar as quatro superfícies na ordem do fluxo elétrico \emph{do mais positivo para o mais negativo}.
Informações dadas (vou escrever cada vetor em componentes (x,y), pegando os dados do enunciado):
  • (i) \overrightarrow{A}_{(i)} = 6{,}0\\ \mathrm{m}^2\,\hat{\imath}, o que dá componentes \overrightarrow{A}_{(i)} = (6{,}0,\;0{,}0)\\ \mathrm{m}^2. O campo é \overrightarrow{E}_{(i)} = 4{,}0\\ \mathrm{N/C}\,\hat{\jmath}, ou seja \overrightarrow{E}_{(i)} = (0{,}0,\;4{,}0)\\ \mathrm{N/C}.
  • (ii) \overrightarrow{A}_{(ii)} = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2\,\hat{\jmath}, componentes \overrightarrow{A}_{(ii)} = (0{,}0,\;3{,}0)\\ \mathrm{m}^2. O campo é \overrightarrow{E}_{(ii)} = 4{,}0\\ \mathrm{N/C}\,\hat{\imath} + 2{,}0\\ \mathrm{N/C}\,\hat{\jmath}, ou seja \overrightarrow{E}_{(ii)} = (4{,}0,\;2{,}0)\\ \mathrm{N/C}.
  • (iii) \overrightarrow{A}_{(iii)} = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2\,\hat{\imath} + 7{,}0\\ \mathrm{m}^2\,\hat{\jmath}, componentes \overrightarrow{A}_{(iii)} = (3{,}0,\;7{,}0)\\ \mathrm{m}^2. O campo é \overrightarrow{E}_{(iii)} = 4{,}0\\ \mathrm{N/C}\,\hat{\imath} - 2{,}0\\ \mathrm{N/C}\,\hat{\jmath}, ou seja \overrightarrow{E}_{(iii)} = (4{,}0,\;-2{,}0)\\ \mathrm{N/C}.
  • (iv) \overrightarrow{A}_{(iv)} = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2\,\hat{\imath} - 7{,}0\\ \mathrm{m}^2\,\hat{\jmath}, componentes \overrightarrow{A}_{(iv)} = (3{,}0,\;-7{,}0)\\ \mathrm{m}^2. O campo é o mesmo de (iii): \overrightarrow{E}_{(iv)} = (4{,}0,\;-2{,}0)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 2

Conceito que vamos usar: o fluxo elétrico através de uma superfície plana em um campo uniforme é o produto escalar entre o vetor campo e o vetor área:
\Phi = \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{A}.
Explicando o produto escalar de forma prática: se \overrightarrow{E}=(E_x,E_y) e \overrightarrow{A}=(A_x,A_y), então
\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{A} = E_x A_x + E_y A_y.
Cada termo é a multiplicação das componentes correspondentes. A unidade resultante do fluxo é \mathrm{N\cdot m^2/C}. Usamos a forma componente porque aqui todas as grandezas já vieram em eixos \hat{\imath},\hat{\jmath} — fica rápido e sem trigonometria.

Passo 3

Calcular o fluxo para (i).
Peguei os dados do Passo 1: \overrightarrow{E}_{(i)}=(0{,}0,\;4{,}0)\\ \mathrm{N/C} e \overrightarrow{A}_{(i)}=(6{,}0,\;0{,}0)\\ \mathrm{m}^2.
Aplicando o produto escalar:
\Phi_{(i)} = E_x A_x + E_y A_y = 0{,}0\cdot 6{,}0 + 4{,}0\cdot 0{,}0 = 0{,}0.
Resultado: \Phi_{(i)} = 0{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}. Intuição: o vetor área está orientado em \hat{\imath} e o campo está em \hat{\jmath}, são perpendiculares, então fluxo zero.

Passo 4

Calcular o fluxo para (ii).
Dos dados: \overrightarrow{E}_{(ii)}=(4{,}0,\;2{,}0)\\ \mathrm{N/C} e \overrightarrow{A}_{(ii)}=(0{,}0,\;3{,}0)\\ \mathrm{m}^2.
Produto escalar:
\Phi_{(ii)} = 4{,}0\cdot 0{,}0 + 2{,}0\cdot 3{,}0 = 0{,}0 + 6{,}0 = 6{,}0.
Resultado: \Phi_{(ii)} = 6{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 5

Calcular o fluxo para (iii).
Dos dados: \overrightarrow{E}_{(iii)}=(4{,}0,\;-2{,}0)\\ \mathrm{N/C} e \overrightarrow{A}_{(iii)}=(3{,}0,\;7{,}0)\\ \mathrm{m}^2.
Produto escalar:
\Phi_{(iii)} = 4{,}0\cdot 3{,}0 + (-2{,}0)\cdot 7{,}0 = 12{,}0 - 14{,}0 = -2{,}0.
Resultado: \Phi_{(iii)} = -2{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 6

Calcular o fluxo para (iv).
Dos dados: \overrightarrow{E}_{(iv)}=(4{,}0,\;-2{,}0)\\ \mathrm{N/C} e \overrightarrow{A}_{(iv)}=(3{,}0,\;-7{,}0)\\ \mathrm{m}^2.
Produto escalar:
\Phi_{(iv)} = 4{,}0\cdot 3{,}0 + (-2{,}0)\cdot (-7{,}0) = 12{,}0 + 14{,}0 = 26{,}0.
Resultado: \Phi_{(iv)} = 26{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 7

Resumo numérico (sem ordenar ainda): \Phi_{(i)}=0{,}0, \Phi_{(ii)}=6{,}0, \Phi_{(iii)}=-2{,}0, \Phi_{(iv)}=26{,}0 (unidade \mathrm{N\cdot m^2/C}). Na seção de resposta eu organizo do maior (mais positivo) para o menor (mais negativo).

Resposta

Ordem do fluxo (do mais positivo para o mais negativo): (iv) > (ii) > (i) > (iii)
\Phi_{(i)}=0{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}
\Phi_{(ii)}=6{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}
\Phi_{(iii)}=-2{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}
\Phi_{(iv)}=26{,}0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}

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