15.75 Um fio de aço cilíndrico uniforme de 55,0 \mathrm{~cm} de comprimento e 1.14 mm de diâmetro é fixado em ambas as extremidades. A que tensão ele deve ser ajustado para que, ao vibrar em seu primeiro sobretom, produza a nota \mathrm{D}^{0} de freqüência 311 Hz ? Suponha que a deformação do fio seja desprezível. (Sugestão: Use a Tabela 14.1.)
Tabela 14.1 Densidades de algumas substâncias comuns
Material Densidade \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)^{*} Material Densidade \left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)^{*}
Ar ( 1 \mathrm{~atm}, 20^{\circ} \mathrm{C} ) 1,20 Ferro, aço 7,8 \times 10^{3}
Álcool etílico 0,81 \times 10^{3} Latão 8,6 \times 10^{3}
Benzeno 0,90 \times 10^{3} Cobre 8.9 \times 10^{3}
Gelo 0,92 \times 10^{3} Prata 10.5 \times 10^{3}
Água 1,00 \times 10^{3} Chumbo 11,3 \times 10^{3}
Água do mar 1,03 \times 10^{3} Mercúrio 13,6 \times 10^{3}
Sangue 1,06 \times 10^{3} Ouro 19,3 \times 10^{3}
Glicerina 1.26 \times 10^{3} Platina 21,4 \times 10^{3}
Concreto 2,00 \times 10^{3} Estrela anã branca 10^{10}
Alumínio 2,70 \times 10^{3} Estrela de nêutrons 10^{18}
*Para obter a densidade em gramas por centímetro cúbico, simplesmente divida os valores por 10^{3}.

Passo 1

O problema dá um fio de aço cilíndrico de comprimento L=0{,}550\\ \mathrm{m} e diâmetro d=1{,}14\\ \mathrm{mm}, fixo em ambas as extremidades, vibrando em seu primeiro sobretom ( 2\circ harmônico) com frequência f_2=311\\ \mathrm{Hz}. Precisamos achar a tensão T necessária para que a onda na corda satisfaça essa frequência. Usaremos a densidade do aço \rho=7{,}8\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3} e as fórmulas de ondas em cordas.

Passo 2

Calcular a densidade linear \mu do fio a partir de
\mu = \rho A,
onde a área da seção é
A = \pi\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2.
Convertendo d=1{,}14\\ \mathrm{mm}=1{,}14\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, temos
A = \pi\bigl(0{,}57\times10^{-3}\bigr)^2 = \pi\,(5{,}7\times10^{-4})^2 \approx 1{,}02\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2},
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\mu = 7{,}8\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3}\times1{,}02\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2} \approx 7{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Para cordas fixas em ambas as extremidades, a frequência do n-ésimo harmônico é
f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
O primeiro sobretom é n=2, então
f_2 = \frac{2}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{T}{\mu}} = f_2\,L.
Elevando ao quadrado e isolando T, obtemos
T = \mu\,(f_2\,L)^2.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
T = 7{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}\times \bigl(311\\ \mathrm{Hz}\times0{,}550\\ \mathrm{m}\bigr)^2.
Calculando
311\times0{,}550 = 171{,}05\\ \mathrm{m/s},
(171{,}05)^2 \approx 29258,
T \approx 7{,}96\times10^{-3}\times29258 \approx 233\\ \mathrm{N}.

Resposta

A tensão deve ser de aproximadamente 2{,}33\times10^2\\ \mathrm{N}.

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