15.75 Um fio de aço cilíndrico uniforme de
de comprimento e 1.14 mm de diâmetro é fixado em ambas as extremidades. A que tensão ele deve ser ajustado para que, ao vibrar em seu primeiro sobretom, produza a nota
de freqüência 311 Hz ? Suponha que a deformação do fio seja desprezível. (Sugestão: Use a Tabela 14.1.)
Tabela 14.1 Densidades de algumas substâncias comuns
Material
Densidade
Material
Densidade
Ar (
)
1,20
Ferro, aço
Álcool etílico
Latão
Benzeno
Cobre
Gelo
Prata
Água
Chumbo
Água do mar
Mercúrio
Sangue
Ouro
Glicerina
Platina
Concreto
Estrela anã branca
Alumínio
Estrela de nêutrons
*Para obter a densidade em gramas por centímetro cúbico, simplesmente divida os valores por
.
Material | Densidade
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Material | Densidade
|
Ar (
|
1,20 | Ferro, aço |
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Álcool etílico |
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Latão |
|
Benzeno |
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Cobre |
|
Gelo |
|
Prata |
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Água |
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Chumbo |
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Água do mar |
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Mercúrio |
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Sangue |
|
Ouro |
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Glicerina |
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Platina |
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Concreto |
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Estrela anã branca |
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Alumínio |
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Estrela de nêutrons |
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Passo 1
O problema dá um fio de aço cilíndrico de comprimento
e diâmetro
, fixo em ambas as extremidades, vibrando em seu primeiro sobretom (
harmônico) com frequência
. Precisamos achar a tensão
necessária para que a onda na corda satisfaça essa frequência. Usaremos a densidade do aço
e as fórmulas de ondas em cordas.
Passo 2
Calcular a densidade linear
do fio a partir de
onde a área da seção é
Convertendo
, temos
logo
Passo 3
Para cordas fixas em ambas as extremidades, a frequência do
-ésimo harmônico é
O primeiro sobretom é
, então
Elevando ao quadrado e isolando
, obtemos
Passo 4
Substituindo os valores numéricos:
Calculando
Resposta
A tensão deve ser de aproximadamente
.