(*) Uma força exerce um impulso J sobre um objeto de massa m, alterando a velocidade deste de v para u. A força e o movimento do objeto têm a mesma direção. Mostre que o trabalho realizado pela força é J(u+v) / 2.

Passo 1

O enunciado diz que uma força, na mesma direção do movimento, exerce um impulso J sobre um objeto de massa m, fazendo sua velocidade passar de v para u. Para resolver, vamos usar dois resultados fundamentais: o teorema do impulso-momento, que relaciona impulso J e variação de quantidade de movimento, e o teorema trabalho-energia, que diz que o trabalho da força é igual à variação da energia cinética.

Passo 2

Pelo teorema do impulso-momento, o impulso J é a variação da quantidade de movimento:
J = \Delta p = m\,u - m\,v = m\,(u - v).

Passo 3

Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho W realizado pela força é a variação da energia cinética:
W = \Delta K = \frac12 m\,u^2 - \frac12 m\,v^2.

Passo 4

Fatorando a diferença de quadrados na expressão de W:
W = \frac12 m\,(u^2 - v^2) = \frac12 m\,(u - v)\,(u + v).
Como de J = m\,(u - v) segue m\,(u - v)=J, concluímos
W = \frac12\,J\,(u + v).

Resposta

O trabalho realizado pela força é \displaystyle \frac{J\,(u+v)}{2}.

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