15 A altura de um cone circular reto é raiz55 cm e o ângulo central de um setor circular equivalente à superfície lateral desse cone mede 135^circ. Calcule a área total desse cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto de altura h = raiz55,cm cuja superfície lateral corresponde a um setor circular de raio igual à geratriz l e ângulo central ;135^circ. Precisamos encontrar a área total do cone, isto é, a soma da área lateral com a área da base.

Passo 2

Para relacionar o setor com a base do cone, note que o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base. Se theta é o ângulo do setor em radianos e r o raio da base, então
arco = l,theta = 2pi,r

Passo 3

Convertendo o ângulo para radianos, temos
theta = 135^circ = 3pi4
Então
l,3pi4 = 2pi,r Longrightarrow r = l,3pi42pi = 3l8

Passo 4

Usamos o teorema de Pitágoras na geratriz:
l^2 = r^2 + h^2 = l(3l8r)^2 + 55
Isso dá
l^2 - 964,l^2 = 55 Longrightarrow 5564,l^2 = 55 Longrightarrow l^2 = 64 Longrightarrow l = 8,cm
Logo r = tfrac3cdot 88 = 3,cm

Passo 5

A área lateral do cone é
Alat = pi,r,l = pi times 3 times 8 = 24pi
A área da base é
Abase = pi,r^2 = pi times 3^2 = 9pi

Passo 6

Somando as duas áreas, obtemos a área total:
Atotal = Alat + Abase = 24pi + 9pi = 33pi

Resposta

A área total do cone é 33pi,cm^2.

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