15 A altura de um cone circular reto é
e o ângulo central de um setor circular equivalente à superfície lateral desse cone mede
. Calcule a área total desse cone.
Passo 1
O enunciado dá um cone circular reto de altura
cuja superfície lateral corresponde a um setor circular de raio igual à geratriz
e ângulo central
. Precisamos encontrar a área total do cone, isto é, a soma da área lateral com a área da base.
Passo 2
Para relacionar o setor com a base do cone, note que o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base. Se
é o ângulo do setor em radianos e
o raio da base, então
Passo 3
Convertendo o ângulo para radianos, temos
Então
Passo 4
Usamos o teorema de Pitágoras na geratriz:
Isso dá
Logo
Passo 5
A área lateral do cone é
A área da base é
Passo 6
Somando as duas áreas, obtemos a área total:
Resposta
A área total do cone é
.