16 (UFRJ) A superfície lateral de um cone circular reto é feita de uma peça circular de papel de 20 cm de diâmetro, cortando-se fora um setor de pi5 radianos. Calcule a altura do cone obtido.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma peça circular de papel com diâmetro 20 cm (logo raio R=10 cm) e que é retirado um setor de ângulo pi/5. Essa peça restante forma a superfície lateral de um cone circular reto. Para resolver precisamos usar que o raio da peça é o geratriz (slant height) do cone e que o comprimento do arco da peça antes de colar vira a circunferência da base do cone.

Passo 2

Calcular o ângulo theta da parte de papel que sobra após retirar o setor de pi/5. Como o círculo completo tem ângulo 2pi, temos
theta = 2pi - pi5 = 10pi - pi5 = 9pi5

Passo 3

O comprimento do arco da parte restante é
L = R cdot theta = 10 cdot 9pi5 = 18pi cm
Esse arco vira a circunferência da base do cone, logo
2pi r = 18pi,
onde r é o raio da base do cone.

Passo 4

Resolver para r:
r = 18pi2pi = 9 cm

Passo 5

O raio da base do cone é r=9 cm e a geratriz (slant height) é o raio original R=10 cm. A altura h do cone vem do triângulo retângulo formado por (r,h,R):
h = raizR^2 - r^2 = raiz10^2 - 9^2 = raiz100 - 81 = raiz19 cm

Resposta

A altura do cone obtido é raiz19 cm.

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