15 O ar aquecido a 1 atm e 35^{\circ} \mathrm{C} deve ser transportado em um duto plástico circular com 150 m de comprimento a uma vazão de 0,35 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Se a perda de carga no tubo não exceder os 20 m , determine o diâmetro mínimo do tubo.

Passo 1

O enunciado pede calcular o diâmetro mínimo de um duto circular que transporte ar nas condições dadas sem que a perda de carga exceda um valor máximo. Dados fornecidos:
  • vazão volumétrica: Q=0,35\\ \mathrm{m^{3}/s};
  • comprimento do duto: L=150\\ \mathrm{m};
  • perda de carga máxima admissível: h_f^{\max}=20\\ \mathrm{m};
  • ar a 1\\ \mathrm{atm} e 35^\circ\mathrm{C} (ou seja, T=35^\circ\mathrm{C}=308{,}15\\ \mathrm{K});
  • duto plástico circular (assumir superfície lisa/pequena rugosidade típica de plástico).
A pergunta a responder é:
  • determinar o menor diâmetro D_{\min} tal que a perda de carga ao longo de L não exceda 20\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Explicando a física/fórmula que será usada (aula rápida e simples).
Para escoamento em tubulação a perda de carga por atrito é dada pela equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito adimensional (depende de Reynolds e rugosidade relativa);
  • L é o comprimento da tubulação (m);
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m);
  • V é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade (g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
A velocidade média relaciona-se com a vazão por
V=\frac{4Q}{\pi D^2}.
O fator de atrito f depende do número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática do fluido. Para tubos lisos em regime turbulento usualmente se pode usar a correlação de Blasius (válida aproximadamente para 4{,}000\lesssim\mathrm{Re}\lesssim10^5 e superfícies lisas):
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Se o escoamento fosse laminar ( \mathrm{Re}<2300) usaríamos f=64/\mathrm{Re}. Aqui, devido à vazão relativamente alta e tubos de diâmetro que provavelmente resultam em Re grande, usaremos Blasius e depois verificaremos a validade.

Passo 3

Propriedades do ar a 35^\circ\mathrm{C} (vou calcular a densidade e viscosidade a partir de relações simples).
Densidade pela equação dos gases ideais:
\rho = \frac{p}{R T},
onde p=101325\\ \mathrm{Pa}, R=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (constante específica do ar) e T=308{,}15\\ \mathrm{K}. Logo
\rho=\frac{101325}{287{,}05\cdot308{,}15}\approx 1{,}1456\\ \mathrm{kg/m^3}.
Viscosidade dinâmica usando a lei de Sutherland (valores padrão para ar: \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}):
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}.
Substituindo T=308{,}15\\ \mathrm{K} obtemos (cálculo mostrado)
\mu\approx 1{,}884\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
A viscosidade cinemática é
\nu=\frac{\mu}{\rho}\approx\frac{1{,}884\times10^{-5}}{1{,}1456}\approx 1{,}645\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Comentário amigo: esses cálculos dão as propriedades do ar nas condições do enunciado; se o professor usar tabelas com valores ligeiramente diferentes, o resultado final muda pouco.

Passo 4

Eliminando V e escrevendo h_f em função de D e f.
Substituindo V na fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^2}\right)^2.
Simplificando:
h_f = f\,\frac{8 L Q^2}{\pi^2 g}\,D^{-5}.
Ou seja,
h_f = \frac{8 f L Q^2}{\pi^2 g D^5}.
Nosso objetivo é achar D tal que h_f = 20\\ \mathrm{m}, lembrando que f depende de D através de \mathrm{Re}.

Passo 5

Escolha da correlação para f e montagem da equação para achar D.
Como o duto é plástico (superfície lisa) e esperamos \mathrm{Re} grande, uso a correlação de Blasius
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}, \qquad \mathrm{Re}=\frac{4Q}{\pi D \nu}.
Note que aqui \mathrm{Re} foi reescrito usando V=\dfrac{4Q}{\pi D^2}, o que resulta em \mathrm{Re}=\dfrac{4Q}{\pi D \nu}.
Substituindo f em função de D na expressão de h_f e isolando D chega-se a uma relação explícita:
D^{4{,}75} = \frac{8 a L Q^2}{\pi^2 g h_f},
onde
a = 0{,}3164\left(\frac{4Q}{\pi \nu}\right)^{-0{,}25}.
Portanto
D = \left(\frac{8 a L Q^2}{\pi^2 g h_f}\right)^{1/4{,}75}.
Explicando de modo leve: fizemos uma substituição para eliminar f escrevendo-o via Blasius que traz \mathrm{Re} (e \mathrm{Re} depende de D), e resolvemos algebricamente para D. É uma solução aproximada, válida se Blasius for aplicável (vamos checar Re depois).

Passo 6

Cálculo numérico (passo a passo das contas).
Primeiro calcule os termos que entram em a:
\frac{4Q}{\pi \nu}=\frac{4\cdot 0{,}35}{\pi\cdot 1{,}645\times10^{-5}}\approx 27070.
Logo
a=0{,}3164\cdot 27070^{-0{,}25}\approx 0{,}02467.
Agora o numerador da expressão para D^{4{,}75}:
8 a L Q^2 = 8\cdot 0{,}02467\cdot 150\cdot (0{,}35)^2 \approx 3{,}626.
Denominador:
\pi^2 g h_f = \pi^2\cdot 9{,}81\cdot 20 \approx 1{,}936{,}0.
Portanto
\frac{8 a L Q^2}{\pi^2 g h_f}\approx \frac{3{,}626}{1{,}936{,}0}\approx 0{,}001874.
Agora
D=\left(0{,}001874\right)^{1/4{,}75}.
Como 1/4{,}75\approx 0{,}210526, então
D\approx e^{0{,}210526\ln(0{,}001874)} \approx 0{,}267\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação da hipótese (checar \mathrm{Re}, f e h_f com D=0{,}267\\ \mathrm{m}).
Calcular velocidade:
V=\frac{4Q}{\pi D^2}=\frac{4\cdot 0{,}35}{\pi\cdot(0{,}267)^2}\approx 6{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}=\frac{6{,}25\cdot 0{,}267}{1{,}645\times10^{-5}}\approx 1{,}01\times10^{5}.
Esse valor está no limite superior da validade aproximada da fórmula de Blasius, mas ainda compatível com uso aproximado (e a rugosidade de plástico é pequena).
Fator de atrito via Blasius:
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}\approx 0{,}0177.
Cálculo direto da perda de carga com esses valores:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} \approx 0{,}0177\cdot\frac{150}{0{,}267}\cdot\frac{6{,}25^2}{2\cdot9{,}81} \approx 19{,}8\\ \mathrm{m}.
Comentário amigo: a perda calculada 19{,}8\\ \mathrm{m} é ligeiramente menor que o limite 20\\ \mathrm{m}, portanto o diâmetro encontrado satisfaz a restrição. Como a correlação de Blasius começa a perder precisão acima de 10^5, o resultado é uma boa estimativa; usar Colebrook (iterativo) com rugosidade muito baixa daria um valor muito próximo.

Passo 8

Conclusão prática e arredondamento.
O diâmetro mínimo interno calculado é cerca de 0{,}267\\ \mathrm{m}. Em prática de projeto costuma-se escolher um diâmetro comercial ligeiramente maior para garantir margem e facilitar instalação — por exemplo 270\\ \mathrm{mm} ou 300\\ \mathrm{mm} dependendo das opções comerciais.
Força motivacional: você já viu as fórmulas principais (Darcy–Weisbach, relação Q\leftrightarrow V, número de Reynolds, Blasius). No exame, use esse fluxo: calcular propriedades do ar → expressar h_f(D) → escolher correlação para f (ou justificar f assumido) → iterar/verificar — e pronto!

Resposta

D_{\min}=0,267\\ \mathrm{m} (aprox. 267\\ \mathrm{mm}).

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