15 O ar aquecido a 1 atm e
deve ser transportado em um duto plástico circular com 150 m de comprimento a uma vazão de
. Se a perda de carga no tubo não exceder os 20 m , determine o diâmetro mínimo do tubo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o diâmetro mínimo de um duto circular que transporte ar nas condições dadas sem que a perda de carga exceda um valor máximo. Dados fornecidos:
- vazão volumétrica:
; - comprimento do duto:
; - perda de carga máxima admissível:
; - ar a
e (ou seja, ); - duto plástico circular (assumir superfície lisa/pequena rugosidade típica de plástico).
A pergunta a responder é:
- determinar o menor diâmetro
tal que a perda de carga ao longo de não exceda .
Passo 2
Explicando a física/fórmula que será usada (aula rápida e simples).
Para escoamento em tubulação a perda de carga por atrito é dada pela equação de Darcy–Weisbach:
onde:
-
é a perda de carga (m); -
é o fator de atrito adimensional (depende de Reynolds e rugosidade relativa); -
é o comprimento da tubulação (m); -
é o diâmetro interno da tubulação (m); -
é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s); -
é a aceleração da gravidade .
A velocidade média relaciona-se com a vazão por
O fator de atrito
depende do número de Reynolds
onde
é a viscosidade cinemática do fluido. Para tubos lisos em regime turbulento usualmente se pode usar a correlação de Blasius (válida aproximadamente para
e superfícies lisas):
Se o escoamento fosse laminar (
) usaríamos
. Aqui, devido à vazão relativamente alta e tubos de diâmetro que provavelmente resultam em Re grande, usaremos Blasius e depois verificaremos a validade.
Passo 3
Propriedades do ar a
(vou calcular a densidade e viscosidade a partir de relações simples).
Densidade pela equação dos gases ideais:
onde
,
(constante específica do ar) e
. Logo
Viscosidade dinâmica usando a lei de Sutherland (valores padrão para ar:
em
e
):
Substituindo
obtemos (cálculo mostrado)
A viscosidade cinemática é
Comentário amigo: esses cálculos dão as propriedades do ar nas condições do enunciado; se o professor usar tabelas com valores ligeiramente diferentes, o resultado final muda pouco.
Passo 4
Eliminando
e escrevendo
em função de
e
.
Substituindo
na fórmula de Darcy–Weisbach:
Simplificando:
Ou seja,
Nosso objetivo é achar
tal que
, lembrando que
depende de
através de
.
Passo 5
Escolha da correlação para
e montagem da equação para achar
.
Como o duto é plástico (superfície lisa) e esperamos
grande, uso a correlação de Blasius
Note que aqui
foi reescrito usando
, o que resulta em
.
Substituindo
em função de
na expressão de
e isolando
chega-se a uma relação explícita:
onde
Portanto
Explicando de modo leve: fizemos uma substituição para eliminar
escrevendo-o via Blasius que traz
(e
depende de
), e resolvemos algebricamente para
. É uma solução aproximada, válida se Blasius for aplicável (vamos checar Re depois).
Passo 6
Cálculo numérico (passo a passo das contas).
Primeiro calcule os termos que entram em
:
Logo
Agora o numerador da expressão para
:
Denominador:
Portanto
Agora
Como
, então
Passo 7
Verificação da hipótese (checar
,
e
com
).
Calcular velocidade:
Número de Reynolds:
Esse valor está no limite superior da validade aproximada da fórmula de Blasius, mas ainda compatível com uso aproximado (e a rugosidade de plástico é pequena).
Fator de atrito via Blasius:
Cálculo direto da perda de carga com esses valores:
Comentário amigo: a perda calculada
é ligeiramente menor que o limite
, portanto o diâmetro encontrado satisfaz a restrição. Como a correlação de Blasius começa a perder precisão acima de
, o resultado é uma boa estimativa; usar Colebrook (iterativo) com rugosidade muito baixa daria um valor muito próximo.
Passo 8
Conclusão prática e arredondamento.
O diâmetro mínimo interno calculado é cerca de
. Em prática de projeto costuma-se escolher um diâmetro comercial ligeiramente maior para garantir margem e facilitar instalação — por exemplo
ou
dependendo das opções comerciais.
Força motivacional: você já viu as fórmulas principais (Darcy–Weisbach, relação
, número de Reynolds, Blasius). No exame, use esse fluxo: calcular propriedades do ar → expressar
→ escolher correlação para
(ou justificar
assumido) → iterar/verificar — e pronto!