(3,50) Qual a velocidade do jato e qual a descarga de um orifício padrão ( \mathrm{cv}=0,98 e cd =0,61 ), com 6 cm de diâmetro, situado na parede vertical de um reservatório, com o centro 3 m abaixo da superfície da água?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo e deixando claro o que queremos):
  • Dados fornecidos:
    • Profundidade do centro do orifício abaixo da superfície: h=3\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro do orifício: d=6\\ \mathrm{cm}=0,06\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de velocidade: c_v=0,98.
    • Coeficiente de descarga: c_d=0,61.
    • Aceleração da gravidade (valor usual que usaremos): g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Qual a velocidade do jato que sai pelo orifício? (velocidade real do jato)
    2. Qual a descarga (vazão volumétrica) através do orifício?
      Nada mais foi pedido.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula prática, sem pressa):
  • Se tivéssemos um orifício ideal sem perdas, a velocidade teórica do jato pela equação de Torricelli (derivada do Teorema de Bernoulli) seria
v_{\text{teo}}=\sqrt{2 g h},
onde g é a aceleração da gravidade e h é a profundidade vertical do centro do orifício em relação à superfície livre.
  • Na prática existem perdas: o jato real tem uma velocidade menor. Introduz-se o coeficiente de velocidade c_v, que relaciona a velocidade real v com a teórica:
v = c_v \, \sqrt{2 g h}.
Aqui:
  • v é a velocidade real do jato (m/s),
  • c_v é adimensional (aqui 0,98),
  • g tem unidades \mathrm{m/s^2},
  • h tem unidades \mathrm{m}.
  • A vazão volumétrica (descarga) real Q é dada usando o coeficiente de descarga c_d (que incorpora efeito da contração e velocidade reduzida):
Q = c_d \, A \, \sqrt{2 g h},
onde A é a área do orifício (m^2) e c_d é adimensional (aqui 0,61).
  • Relação útil (não necessária para calcular v e Q quando já se tem c_v e c_d): o coeficiente de contração c_c satisfaz c_d=c_c c_v. Vou calcular c_c depois só para aprendizado.

Passo 3

Calcular a velocidade teórica \sqrt{2 g h} (primeiro a raiz, depois aplico c_v):
  • Calcular o produto 2 g h:
2 g h = 2 \cdot 9,81 \cdot 3 = 58,86.
  • Tirando a raiz:
\sqrt{2 g h} = \sqrt{58,86} \approx 7,672\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: esse é o valor ideal (sem perdas). Agora aplicamos c_v para obter a velocidade real.

Passo 4

Calcular a velocidade real do jato usando c_v:
v = c_v \sqrt{2 g h} = 0,98 \cdot 7,672 \approx 7,519\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma conveniente para apresentação (mantendo precisão compatível com dados): v \approx 7,52\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a área do orifício A:
  • Fórmula da área de círculo: A=\dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Substituindo d=0,06\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0,06)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,0036}{4} = \pi \cdot 0,0009 \approx 0,002827433\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcular a descarga Q usando c_d:
Q = c_d \, A \, \sqrt{2 g h}.
Já temos \sqrt{2 g h}\approx 7,672\\ \mathrm{m/s} e A\approx 0,002827433\\ \mathrm{m^2}. Então:
A\sqrt{2 g h}\approx 0,002827433 \cdot 7,672 \approx 0,02170\\ \mathrm{m^3/s}.
Multiplicando pelo coeficiente de descarga c_d=0,61:
Q \approx 0,61 \cdot 0,02170 \approx 0,01324\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo (1 \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}):
Q \approx 13,24\\ \mathrm{L/s}.
Arredondando adequadamente: Q \approx 0,0132\\ \mathrm{m^3/s} (ou 13,2\\ \mathrm{L/s}).

Passo 7

Cálculo adicional (aprender vendo a relação entre coeficientes):
  • Se quiser saber o coeficiente de contração c_c (curiosidade útil), usa-se c_c=c_d/c_v:
c_c = \frac{0,61}{0,98} \approx 0,6224.
Isso significa que o jato efetivamente se contrai para cerca de 62{,}2\% da área do orifício na linha do fluxo (isso é só para entender os números; não era pedido).

Resposta

v = 7,52\\ \mathrm{m/s}\n
Q = 0,0132\\ \mathrm{m^3/s} (aprox. 13,2\\ \mathrm{L/s})

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