14 Água a 60^{\circ} \mathrm{F}\left(\rho=62,36 \mathrm{lbm} /\right. pés ^{3} e \mu=7,53610-4 \mathrm{lbm} / pés . s ) escoa estacionariamente em um tubo horizontal de 2 pol de diâmetro feito de aço inoxidável a uma vazão de 0,2 pés/s. Determine a queda de pressão, a perda de carga e a entrada de potência de bombeamento necessária para o escoamento em uma seção do tubo com 200 pés de comprimento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão média (velocidade média) V=0,2\\ \mathrm{ft/s}.
  • Diâmetro do tubo D=2\\ \mathrm{pol} = \dfrac{2}{12}\\ \mathrm{ft} = 0,166666\ldots\\ \mathrm{ft}.
  • Comprimento do trecho L=200\\ \mathrm{ft}.
  • Densidade do fluido \rho=62,36\\ \mathrm{lbm/ft^3}.
  • Viscosidade dinâmica \mu=7{,}536\times10^{-4}\\ \mathrm{lbm/(ft\cdot s)}.
  • Tubulação de aço inoxidável (não foi informada rugosidade absoluta).
O que o enunciado pede:
  1. A queda de pressão \Delta p no trecho de 200\\ \mathrm{ft}.
  2. A perda de carga (altura de pressão) h_f no mesmo trecho.
  3. A potência de bombeamento necessária para manter esse escoamento no trecho (assumir bomba perfeita se não informado rendimento).
Observações iniciais (apenas identificação dos pedidos e dados; a resolução começa no Passo 2).

Passo 2

Calcular a área da seção e a vazão volumétrica Q (itens básicos para potência).
Área da seção circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}
Substituindo D=0,166666\ldots\\ \mathrm{ft}:
A=\frac{\pi(0,166666\ldots)^{2}}{4}=0,0218166\\ \mathrm{ft^{2}}\quad(\text{aprox.})
Vazão volumétrica:
Q=A\cdot V
Q=0,0218166\cdot0,2=0,0043633\\ \mathrm{ft^{3}/s}\quad(\text{aprox.})

Passo 3

Determinar o número de Reynolds para saber o regime de escoamento. Ensino rápido: o número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e viscosas; fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade (em \mathrm{lbm/ft^3}), V a velocidade (em \mathrm{ft/s}), D o diâmetro (em \mathrm{ft}) e \mu a viscosidade dinâmica (em \mathrm{lbm/(ft\cdot s)}).
Calculemos:
\mathrm{Re}=\frac{62{,}36\cdot0,2\cdot0,166666\ldots}{7{,}536\times10^{-4}}=2758{,}3\quad(\text{aprox.})
Interpretação (rápida): valores típicos de referência são \mathrm{Re}\lesssim2000 laminar, \mathrm{Re}\gtrsim4000 turbulento, entre esses é região de transição. Aqui \mathrm{Re}\approx2758 está na faixa de transição, ligeiramente acima de 2300.

Passo 4

Escolha do método para obter o fator de atrito f.
Explicação didática: para perda de carga usamos a equação de Darcy–Weisbach:
h_f=f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito (adimensional). Para escolher f precisa-se do regime e da rugosidade relativa \epsilon/D. Como o enunciado não fornece rugosidade absoluta \epsilon e \mathrm{Re} está na faixa de transição, há incerteza. Procedimento prático (comum em provas): assumir escoamento completamente desenvolvido turbulento em superfície lisa/industrial e usar uma correlação simples e básica para tubos lisos quando \mathrm{Re} está acima do crítico e a rugosidade não foi dada. A correlação simples e frequentemente pedida é a fórmula de Blasius (válida para escoamentos turbulentos em tubos lisos, aproximadamente para 3000\lesssim\mathrm{Re}\lesssim10^{5}):
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Justificativa: é o método mais básico para turbulento suave quando a rugosidade não foi dada e a questão espera um valor prático. Aviso: se o problema fosse crítico, deveria ser fornecida a rugosidade ou pedir análise de transição; aqui adotamos Blasius por ser a escolha padrão e simples.
Como verificação rápida, também mostrarei o caso laminar (fórmula f=64/\mathrm{Re}) para comparar depois.

Passo 5

Calcular o fator de atrito f pela fórmula de Blasius.
Aplicando:
f=0{,}3164\cdot(2758{,}3)^{-0{,}25}=0{,}04349\quad(\text{aprox.})
(Se tivéssemos assumido laminar: f_{\text{lam}}=64/2758{,}3=0{,}02320.)

Passo 6

Calcular a perda de carga h_f pela equação de Darcy–Weisbach e explicar cada termo.
Fórmula (repetição para fixar):
h_f=f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde
  • h_f tem unidades de comprimento (pés),
  • f é o fator de atrito adimensional,
  • L/D é adimensional,
  • V^{2}/(2g) é a energia cinética convertida em altura (com g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}}).
Calcule cada parte:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(0,2)^{2}}{2\cdot32{,}174}=\frac{0,04}{64{,}348}=0{,}00062186\\ \mathrm{ft}.
\frac{L}{D}=\frac{200}{0{,}166666\ldots}=1200.
Agora:
h_f=0{,}04349\cdot1200\cdot0{,}00062186=0{,}03247\\ \mathrm{ft}\quad(\text{aprox.})
Comentário: este é um valor muito pequeno (cerca de 0{,}39 polegadas), coerente com baixa velocidade e pequeno diâmetro.

Passo 7

Calcular a queda de pressão \Delta p a partir da perda de carga h_f.
Relação entre pressão e altura (peso específico): \Delta p=\gamma\,h_f, onde \gamma é o peso específico do fluido em unidades de \mathrm{lbf/ft^{3}}. Em unidades usuais americanas, \gamma=\rho g/g_c. Como numericamente g=g_c=32{,}174 nas unidades usadas, obtemos numericamente \gamma\approx\rho (em \mathrm{lbf/ft^{3}} numericamente igual a \mathrm{lbm/ft^{3}}). Assim, para cálculos práticos:
\Delta p=\rho\cdot h_f\quad(\mathrm{lbf/ft^{2}}).
Substituindo:
\Delta p=62{,}36\cdot0{,}03247=2{,}025\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}\quad(\text{aprox.})
Converter para unidades mais usuais:
1\\ \mathrm{psi}=144\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}\quad\Rightarrow\quad\Delta p=\frac{2{,}025}{144}=0{,}01406\\ \mathrm{psi}.
Em pascal ( \mathrm{Pa}), sabendo 1\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}=47{,}8803\\ \mathrm{Pa}:
\Delta p=2{,}025\cdot47{,}8803=96{,}97\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{aprox.})

Passo 8

Calcular a potência de bombeamento necessária (assumindo bomba ideal, rendimento \eta=1 se não informado).
A potência hidráulica exigida (potência entregue ao fluido) é:
P=\Delta p \cdot Q,
onde \Delta p está em \mathrm{lbf/ft^{2}} e Q em \mathrm{ft^{3}/s}. O produto dá \mathrm{ft\cdot lbf/s}, que pode ser convertido para watts ou para horsepower.
Usando os valores calculados:
P=2{,}025\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}\cdot0{,}0043633\\ \mathrm{ft^{3}/s}=0{,}0088383\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}.
Converter para watts ( 1\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}=1{,}3558179\\ \mathrm{W}):
P=0{,}0088383\cdot1{,}3558179=0{,}01199\\ \mathrm{W}\quad(\text{aprox.})
Converter para horsepower ( 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lbf/s}):
P=\frac{0{,}0088383}{550}=1{,}6079\times10^{-5}\\ \mathrm{hp}.
Comentário: potência muito pequena devido à baixa velocidade e pequena vazão.

Passo 9

Verificação e observação sobre a incerteza (transição laminar/turbulenta).
Se em vez de usar Blasius tivéssemos assumido laminar com f=64/\mathrm{Re}, obteríamos:
f_{\text{lam}}=0{,}02320,\qquad h_{f,\text{lam}}=0{,}01732\\ \mathrm{ft},\qquad\Delta p_{\text{lam}}=1{,}079\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}=0{,}00749\\ \mathrm{psi},
e potência cerca da metade do cálculo anterior. Como \mathrm{Re} está na faixa de transição, o valor real pode estar entre os dois. Entretanto, por convenção e pela falta de rugosidade fornecida, escolhemos aqui a correlação de Blasius (turbulento suave) como resposta principal — é a escolha padrão em muitos exercícios quando \mathrm{Re} não é muito baixo e não há rugosidade.

Resposta

Queda de pressão \Delta p=2{,}025\\ \mathrm{lbf/ft^{2}}\approx0{,}01406\\ \mathrm{psi}\approx96{,}97\\ \mathrm{Pa}.
Perda de carga h_f=0{,}03247\\ \mathrm{ft}.
Potência de bombeamento P=0{,}01199\\ \mathrm{W}\approx1{,}61\times10^{-5}\\ \mathrm{hp}.

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