17 Um tubo de água horizontal com diâmetro de 6 cm se expande gradualmente até um ângulo de 10^{\circ} em relação ao eixo. A velocidade média e a pressão da água antes da seção de expansão são de 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 150 kPa , respectivamente. Determine a perda de carga na seção de expansão e a pressão no tubo de diâmetro maior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • determinar a perda de carga na seção de expansão;
  • determinar a pressão no tubo de diâmetro maior (após a expansão).
Informações fornecidas:
  • diâmetro antes da expansão: d_1 = 6\\ \text{cm} = 0{,}06\\ \text{m};
  • velocidade média antes da expansão: V_1 = 7\\ \text{m/s};
  • pressão antes da expansão: p_1 = 150\\ \text{kPa};
  • a expansão é gradual com as paredes fazendo um ângulo de 10^\circ em relação ao eixo.
Informação faltante e consequência: o enunciado não dá o diâmetro após a expansão d_2 (ou a razão de áreas A_2/A_1). Sem d_2 não é possível obter valores numéricos únicos para a perda de carga e para p_2. Vou, portanto, apresentar uma resolução completa que:
  • explica as equações e física necessárias (passo a passo didático);
  • deriva fórmulas explícitas que permitem calcular a perda de carga e p_2 em função de d_2;
  • comenta o efeito do “gradual” (ângulo de 10^\circ) e o que fazer se se assumir perda desprezível.

Passo 2

Conservação de massa (continuidade). Para um escoamento incompressível e em regime permanente:
A_1 V_1 = A_2 V_2,
onde A=\dfrac{\pi d^{2}}{4} é a área da seção. Assim:
V_2 = V_1\frac{A_1}{A_2} = V_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}.
Explicação didática: a quantidade de água que passa por uma seção por segundo é a mesma em qualquer seção (se não houver ramificações); se a área aumenta, a velocidade média diminui na mesma proporção de área. Aqui cada passo é direto: escrever A=\pi d^2/4 e substituir.

Passo 3

Equação da energia (Bernoulli) com perda de carga entre 1 e 2. Para escoamento horizontal ( \Delta z=0), assumindo perfis de velocidade médios (correção cinética \alpha\approx1), a forma útil é:
\frac{p_1}{\rho} + \frac{V_1^{2}}{2} = \frac{p_2}{\rho} + \frac{V_2^{2}}{2} + g h_L,
onde h_L é a perda de carga em metros de fluido, \rho é a densidade (para água toma-se \rho\approx1000\\ \text{kg/m}^3) e g\approx9{,}81\\ \text{m/s}^2. Multiplicando por \rho e reorganizando:
p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}\left(V_1^{2}-V_2^{2}\right) - \rho g h_L.
Explicação didática: Bernoulli diz que pressão + energia cinética por unidade de massa é diminuída pela energia dissipada g h_L. Como o tubo é horizontal não há termo de potencial gravitacional entre seções.

Passo 4

Fórmula prática para perda de carga numa expansão. Existem dois extremos:
  • expansão brusca (súbita): há separação e recirculação; a perda pode ser estimada pela fórmula clássica de expansão súbita
h_L=\frac{(V_1-V_2)^{2}}{2g}.
  • expansão gradual (difusor com paredes suaves): se o ângulo e o comprimento forem tais que não haja separação, a perda é muito menor; em problemas práticos usa-se coeficientes experimentais dependentes do ângulo e da razão de áreas.
Explicação didática e escolha: o enunciado diz “expande gradualmente até um ângulo de 10^\circ”. Um semi‑ângulo de parede de 10^\circ costuma ser relativamente pequeno e pode evitar separação significativa, logo a perda pode ser muito pequena. Porém, para obter um resultado numérico preciso seria necessário conhecer d_2 e informações experimentais sobre o coeficiente de perda para esse difusor (ou adotar a aproximação de expansão súbita, que superestima a perda). Como não há d_2 nem coeficiente experimental, vou apresentar a solução geral usando a expressão para expansão súbita (fórmula simples e padrão) e também indicar a hipótese alternativa h_L\approx0 (nenhuma perda).

Passo 5

Derivando a expressão prática em termos de d_2. Usando a expressão de perda por expansão súbita e a continuidade:
h_L = \frac{(V_1-V_2)^{2}}{2g}, \qquad V_2 = V_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}.
Substituindo V_2:
h_L(d_2)=\frac{V_1^{2}}{2g}\left(1-\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}\right)^{2}.
Em unidades de pressão (perda de carga convertida para Pa):
\Delta p_L = \rho g h_L = \frac{\rho}{2}\,V_1^{2}\left(1-\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}\right)^{2}.
Explicação didática: multipliquei h_L por \rho g para obter \Delta p_L em pascal, porque muitas vezes se precisa da perda como diferença de pressão.

Passo 6

Expressão para p_2 em função de d_2. Substituindo a expressão de h_L na equação de Bernoulli (passo 3) e simplificando algebraicamente (mostrar simplificação útil):
a) começamos com
p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}\left(V_1^{2}-V_2^{2}\right) - \rho g \frac{(V_1-V_2)^{2}}{2g}.
b) observar que \rho g\cdot\frac{(V_1-V_2)^{2}}{2g}=\dfrac{\rho}{2}(V_1-V_2)^{2}. Assim
p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}\Bigl(V_1^{2}-V_2^{2} - (V_1-V_2)^{2}\Bigr).
c) desenvolvendo e simplificando:
V_1^{2}-V_2^{2} - (V_1^{2}-2V_1V_2+V_2^{2}) = 2V_1V_2 - 2V_2^{2} = 2V_2(V_1-V_2).
Logo
p_2 = p_1 + \rho\,V_2\,(V_1-V_2).
Agora substitui V_2=V_1\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2} para obter p_2 como função de d_2:
p_2(d_2) = p_1 + \rho\,V_1^{2}\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}\left(1-\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}\right).
Explicação didática: esta forma mostra como a pressão sobe (recuperação de pressão por desaceleração) mas é reduzida pela perda dissipada; a expressão final foi obtida sem precisar calcular h_L separadamente, porque a combinação dos termos de energia dá essa forma compacta.

Passo 7

Substituição dos dados numéricos conhecidos (ficando d_2 simbólico). Usando \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, V_1=7\\ \text{m/s}, d_1=0{,}06\\ \text{m} e p_1=150\\ \text{kPa}:
  • perda de carga (carga em metros):
h_L(d_2)=\frac{7^{2}}{2\cdot 9{,}81}\left(1-\left(\frac{0{,}06}{d_2}\right)^{2}\right)^{2}\\ \text{m}.
  • perda de carga em pressão:
\Delta p_L(d_2)=\frac{1000}{2}\,7^{2}\left(1-\left(\frac{0{,}06}{d_2}\right)^{2}\right)^{2}\\ \text{Pa}.
  • pressão no tubo maior:
p_2(d_2)=150{,}000\\ \text{Pa} + 1000\cdot 7^{2}\left(\frac{0{,}06}{d_2}\right)^{2}\left(1-\left(\frac{0{,}06}{d_2}\right)^{2}\right).
Observação prática: se se assumir que a expansão é suficientemente gradual e sem separação, pode-se aproximar h_L\approx0 e então, pelo Bernoulli,
p_2 \approx p_1 + \tfrac{\rho}{2}\left(V_1^{2}-V_2^{2}\right) = p_1 + \tfrac{\rho}{2}V_1^{2}\left(1-\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{4}\right).
Mas essa é só uma hipótese alternativa que reduz perdas—para saber se é válida precisa-se do comprimento do difusor e de dados experimentais sobre separação (não fornecidos).

Passo 8

Conclusão prática e instrução para a prova:
  • Se o enunciado da prova der d_2 (ou a razão d_2/d_1 ou A_2/A_1), inserir esse valor nas fórmulas do Passo 7 e calcular numericamente h_L (ou \Delta p_L) e p_2.
  • Se o enunciado disser explicitamente que a expansão é gradual e desprezível, usar h_L\approx0 e a fórmula alternativa do Passo 7 para p_2.
  • Se o enunciado não der d_2 nem permitir desprezar h_L, não há como obter números finais únicos: é necessário pedir/ter d_2 ou um coeficiente experimental.
Força aí — você já tem as fórmulas passo a passo; se me der d_2 eu calculo numérico rapidinho.

Resposta

h_L(d_2)=\dfrac{V_1^{2}}{2g}\left(1-\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2}\right)^{2}, com V_1=7\\ \text{m/s} e d_1=0{,}06\\ \text{m}.\n \Delta p_L(d_2)=\dfrac{\rho}{2}V_1^{2}\left(1-\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2}\right)^{2} (Pa), com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3.\n p_2(d_2)=p_1+\rho\,V_1^{2}\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2}\left(1-\left(\dfrac{d_1}{d_2}\right)^{2}\right), com p_1=150\\ \text{kPa}.

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