17 Um tubo de água horizontal com diâmetro de 6 cm se expande gradualmente até um ângulo de
em relação ao eixo. A velocidade média e a pressão da água antes da seção de expansão são de
e 150 kPa , respectivamente. Determine a perda de carga na seção de expansão e a pressão no tubo de diâmetro maior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- determinar a perda de carga na seção de expansão;
- determinar a pressão no tubo de diâmetro maior (após a expansão).
Informações fornecidas:
- diâmetro antes da expansão:
; - velocidade média antes da expansão:
; - pressão antes da expansão:
; - a expansão é gradual com as paredes fazendo um ângulo de
em relação ao eixo.
Informação faltante e consequência: o enunciado não dá o diâmetro após a expansão
(ou a razão de áreas
). Sem
não é possível obter valores numéricos únicos para a perda de carga e para
. Vou, portanto, apresentar uma resolução completa que:
- explica as equações e física necessárias (passo a passo didático);
- deriva fórmulas explícitas que permitem calcular a perda de carga e
em função de ; - comenta o efeito do “gradual” (ângulo de
) e o que fazer se se assumir perda desprezível.
Passo 2
Conservação de massa (continuidade). Para um escoamento incompressível e em regime permanente:
onde
é a área da seção. Assim:
Explicação didática: a quantidade de água que passa por uma seção por segundo é a mesma em qualquer seção (se não houver ramificações); se a área aumenta, a velocidade média diminui na mesma proporção de área. Aqui cada passo é direto: escrever
e substituir.
Passo 3
Equação da energia (Bernoulli) com perda de carga entre 1 e 2. Para escoamento horizontal (
), assumindo perfis de velocidade médios (correção cinética
), a forma útil é:
onde
é a perda de carga em metros de fluido,
é a densidade (para água toma-se
) e
. Multiplicando por
e reorganizando:
Explicação didática: Bernoulli diz que pressão + energia cinética por unidade de massa é diminuída pela energia dissipada
. Como o tubo é horizontal não há termo de potencial gravitacional entre seções.
Passo 4
Fórmula prática para perda de carga numa expansão. Existem dois extremos:
- expansão brusca (súbita): há separação e recirculação; a perda pode ser estimada pela fórmula clássica de expansão súbita
- expansão gradual (difusor com paredes suaves): se o ângulo e o comprimento forem tais que não haja separação, a perda é muito menor; em problemas práticos usa-se coeficientes experimentais dependentes do ângulo e da razão de áreas.
Explicação didática e escolha: o enunciado diz “expande gradualmente até um ângulo de
”. Um semi‑ângulo de parede de
costuma ser relativamente pequeno e pode evitar separação significativa, logo a perda pode ser muito pequena. Porém, para obter um resultado numérico preciso seria necessário conhecer
e informações experimentais sobre o coeficiente de perda para esse difusor (ou adotar a aproximação de expansão súbita, que superestima a perda). Como não há
nem coeficiente experimental, vou apresentar a solução geral usando a expressão para expansão súbita (fórmula simples e padrão) e também indicar a hipótese alternativa
(nenhuma perda).
Passo 5
Derivando a expressão prática em termos de
. Usando a expressão de perda por expansão súbita e a continuidade:
Substituindo
:
Em unidades de pressão (perda de carga convertida para Pa):
Explicação didática: multipliquei
por
para obter
em pascal, porque muitas vezes se precisa da perda como diferença de pressão.
Passo 6
Expressão para
em função de
. Substituindo a expressão de
na equação de Bernoulli (passo 3) e simplificando algebraicamente (mostrar simplificação útil):
a) começamos com
a) começamos com
b) observar que
. Assim
c) desenvolvendo e simplificando:
Logo
Agora substitui
para obter
como função de
:
Explicação didática: esta forma mostra como a pressão sobe (recuperação de pressão por desaceleração) mas é reduzida pela perda dissipada; a expressão final foi obtida sem precisar calcular
separadamente, porque a combinação dos termos de energia dá essa forma compacta.
Passo 7
Substituição dos dados numéricos conhecidos (ficando
simbólico). Usando
,
,
e
:
- perda de carga (carga em metros):
- perda de carga em pressão:
- pressão no tubo maior:
Observação prática: se se assumir que a expansão é suficientemente gradual e sem separação, pode-se aproximar
e então, pelo Bernoulli,
Mas essa é só uma hipótese alternativa que reduz perdas—para saber se é válida precisa-se do comprimento do difusor e de dados experimentais sobre separação (não fornecidos).
Passo 8
Conclusão prática e instrução para a prova:
- Se o enunciado da prova der
(ou a razão ou ), inserir esse valor nas fórmulas do Passo 7 e calcular numericamente (ou ) e . - Se o enunciado disser explicitamente que a expansão é gradual e desprezível, usar
e a fórmula alternativa do Passo 7 para . - Se o enunciado não der
nem permitir desprezar , não há como obter números finais únicos: é necessário pedir/ter ou um coeficiente experimental.
Força aí — você já tem as fórmulas passo a passo; se me der
eu calculo numérico rapidinho.