9.15 Calcule a série de Laurent de
em torno de
na região
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Laurent de
em torno de
na região
.
Conteúdo: séries de potências em (expansão para
). Vamos usar frações parciais e depois expandir cada termo em potências decrescentes de
.
Conteúdo: séries de potências em
Passo 2
Fazendo frações parciais em
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para
vem
.
Para vem
.
Logo
Para
Logo
Passo 3
Agora expandimos cada termo em série de potências de
, válida para
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo em
:
Repare que
se
é par, e vale
se
é ímpar.
Escrevendo (
):
Escrevendo
Resposta
válido para
.