9.13 Encontre a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{z(z+3)}
em torno de z=-3 no disco |z+3|<3.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{z(z+3)}
em torno de z=-3 no disco |z+3|<3.
O conteúdo é séries de Laurent; vamos deslocar o centro para z_0=-3 e expandir em potências de (z+3) e (z+3)^{-1}.

Passo 2

Definimos
w = z + 3,
logo z = w - 3. Em função de w temos
f(z)=\frac{1}{z(z+3)}=\frac{1}{(w-3)\,w}=\frac{1}{w(w-3)},
e o disco |z+3|<3 vira |w|<3.

Passo 3

Fazemos frações parciais em w: queremos
\frac{1}{w(w-3)}=\frac{A}{w}+\frac{B}{w-3}.
Temos
A(w-3)+B\,w=1\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} A+B=0,\\\\ -3A=1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac13,\;B=\tfrac13.
Assim
f(w)=-\frac{1}{3}\,\frac{1}{w}+\frac{1}{3}\,\frac{1}{w-3}.

Passo 4

Para |w|<3 expandimos
\frac{1}{w-3} =-\frac{1}{3}\,\frac{1}{1-\frac{w}{3}} =-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{w}{3}\Bigr)^{n} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{3^{\,n+1}}.

Passo 5

Multiplicando por \tfrac13 e somando a parte singular, obtém-se
f(w) =-\frac{1}{3}\,w^{-1} +\frac{1}{3}\Bigl(-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{3^{\,n+1}}\Bigr) =-\frac{1}{3}w^{-1} -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{3^{\,n+2}}.

Passo 6

Voltando a z, com w=z+3, a série de Laurent em torno de z=-3 é
f(z) =-\frac{1}{3\,(z+3)} -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+3)^{n}}{3^{\,n+2}},
válida para \lvert z+3\rvert<3.

Resposta

f(z) =-\frac{1}{3\,(z+3)} -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+3)^{n}}{3^{\,n+2}}, \quad |z+3|<3.

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