9.14 Obtenha a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{z(1-z)}
em torno de z=0 e para a região |z|>1. Sugestão: |1 / z|<1 na região especificada.

Passo 1

O enunciado quer a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{z(1-z)}
em torno de z=0 válida para a região \lvert z\rvert>1.
Vamos precisar reescrever f(z) de modo a obter potências de 1/z e usar a série geométrica para \lvert1/z\rvert<1.

Passo 2

Reescrevemos f(z) isolando o fator que permite a expansão em 1/z. Note que
1-z = -\bigl(z-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad f(z)=\frac{1}{z(1-z)}=-\frac{1}{z(z-1)}.
Como z-1=z\bigl(1-\tfrac{1}{z}\bigr), temos
-\frac{1}{z(z-1)} =-\frac{1}{z\cdot z\bigl(1-\tfrac{1}{z}\bigr)} =-\frac{1}{z^{2}}\;\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}}.

Passo 3

Na região \lvert z\rvert>1 vale \lvert1/z\rvert<1, então podemos usar a série geométrica
\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{z}\Bigr)^{n}.
Logo
f(z) =-\frac{1}{z^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{z}\Bigr)^{n} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+2}}.

Resposta

A série de Laurent de f(z) em torno de z=0 para \lvert z\rvert>1 é
f(z)=-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{z^{k}} =-\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{z^{3}}-\frac{1}{z^{4}}-\cdots.

Exercícios relacionados