9.15 Calcule a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{(z+1)(z-1)}
em torno de z=0 na região |z|>1.

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Laurent de
f(z)=\frac{1}{(z+1)(z-1)}=\frac{1}{z^2-1}
em torno de z=0 na região |z|>1.
Conteúdo: séries de potências em 1/z (expansão para |z|>1). Vamos usar frações parciais e depois expandir cada termo em potências decrescentes de z.

Passo 2

Fazendo frações parciais em f(z):
\frac{1}{(z-1)(z+1)} =\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z+1) obtemos
1 = A(z+1)+B(z-1).
Para z=1 vem 1=A(2)\implies A=\tfrac12.
Para z=-1 vem 1=B(-2)\implies B=-\tfrac12.
Logo
f(z)=\frac{1}{2}\,\frac{1}{z-1}-\frac{1}{2}\,\frac{1}{z+1}.

Passo 3

Agora expandimos cada termo em série de potências de 1/z, válida para |z|>1.
Para \frac{1}{z-1}:
\frac{1}{z-1} =\frac{1}{z}\,\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{\,n+1}}.
Para \frac{1}{z+1}:
\frac{1}{z+1} =\frac{1}{z}\,\frac{1}{1+\tfrac{1}{z}} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{z^n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{z^{\,n+1}}.

Passo 4

Substituindo em f(z):
f(z) =\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+1}} -\frac12\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{z^{n+1}} =\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{z^{n+1}}.
Repare que 1-(-1)^n=0 se n é par, e vale 2 se n é ímpar.
Escrevendo n=2k+1 ( k=0,1,2,\dots):
f(z) =\frac12\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{z^{(2k+1)+1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^{2k+2}}.

Resposta

f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^{2k+2}},
válido para |z|>1.

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