) Um cabo de aço de
de diâmetro e 15 m de comprimento deve ser utilizado para levantar um objeto com massa de 18140 kg . Calcule o comprimento do cabo durante a elevação do objeto. Considere que o módulo de elasticidade do aço é de 207 GPa e que
. Para as mesmas condições de carga e geometria, determine o diâmetro do cabo, sabendo-se que o coeficiente de Poisson do material é igual a 0,33 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o comprimento do cabo durante a elevação do objeto.
- Para as mesmas condições de carga e geometria, determinar o diâmetro do cabo sabendo-se que o coeficiente de Poisson é
.
Dados fornecidos (vou listar tudo em unidades SI):
Passo 2
Modelo físico e fórmulas-chave (explicação didática):
- O cabo está submetido a uma força de tração vertical igual ao peso do objeto. A força aplicada é
onde
é a força (em N),
a massa (em kg) e
a gravidade (em
).
- A tensão (ou esforço normal) no cabo é a força dividida pela área da secção transversal:
onde
é a tensão (Pa) e
é a área da seção transversal (m^{2}).
- A deformação axial (strain) é a variação relativa de comprimento:
onde
é a elongação (m) e
o comprimento inicial (m).
- Para materiais elásticos lineares (aço, no intervalo elástico), a lei de Hooke relaciona tensão e deformação:
Portanto a elongação é
- A área da seção circular do cabo vale
onde
é o diâmetro.
- Efeito de Poisson (segunda parte): quando o cabo alonga axialmente com deformação
, ocorre uma contração lateral (redução do diâmetro) dada por
portanto o novo diâmetro é
Agora aplicamos essas fórmulas com os números do problema.
Passo 3
Cálculo da força aplicada
(peso do objeto):
Cálculo da área da seção
:
Primeiro o quadrado do diâmetro:
Logo
Passo 4
Cálculo da deformação axial
:
Calculemos o denominador:
Portanto
Interpretação:
significa que o cabo alonga cerca de
do comprimento inicial.
Passo 5
Cálculo da elongação
e do novo comprimento
:
Logo o comprimento durante a elevação é
Arredondando de forma prática (mm):
Passo 6
Cálculo do diâmetro após tração usando o coeficiente de Poisson:
- Deformação lateral:
- Novo diâmetro:
Calculando:
Convertendo para centímetros:
Arredondando adequadamente: