15^{\circ} ) Um cabo de aço de 3,13 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15 m de comprimento deve ser utilizado para levantar um objeto com massa de 18140 kg . Calcule o comprimento do cabo durante a elevação do objeto. Considere que o módulo de elasticidade do aço é de 207 GPa e que \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Para as mesmas condições de carga e geometria, determine o diâmetro do cabo, sabendo-se que o coeficiente de Poisson do material é igual a 0,33 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o comprimento do cabo durante a elevação do objeto.
  2. Para as mesmas condições de carga e geometria, determinar o diâmetro do cabo sabendo-se que o coeficiente de Poisson é 0,33.
Dados fornecidos (vou listar tudo em unidades SI):
\begin{aligned} &\text{diâmetro inicial: } d=3,13\\ \mathrm{cm}=0,0313\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento inicial: } L=15\\ \mathrm{m},\\\ &\text{massa do objeto: } m=18140\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{aceleração da gravidade: } g=10\\ \mathrm{m/s^{2}},\\\ &\text{módulo de elasticidade (Young): } E=207\\ \mathrm{GPa}=207\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{coeficiente de Poisson: } \nu=0,33\\ (\text{só será usado na segunda parte}). \end{aligned}âçãóóá

Passo 2

Modelo físico e fórmulas-chave (explicação didática):
  • O cabo está submetido a uma força de tração vertical igual ao peso do objeto. A força aplicada é
F = m g,
onde F é a força (em N), m a massa (em kg) e g a gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}).
  • A tensão (ou esforço normal) no cabo é a força dividida pela área da secção transversal:
\sigma = \frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão (Pa) e A é a área da seção transversal (m^{2}).
  • A deformação axial (strain) é a variação relativa de comprimento:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L},
onde \Delta L é a elongação (m) e L o comprimento inicial (m).
  • Para materiais elásticos lineares (aço, no intervalo elástico), a lei de Hooke relaciona tensão e deformação:
\sigma = E \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{A E}.
Portanto a elongação é
\Delta L = \varepsilon L = \frac{F L}{A E}.
  • A área da seção circular do cabo vale
A = \frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro.
  • Efeito de Poisson (segunda parte): quando o cabo alonga axialmente com deformação \varepsilon, ocorre uma contração lateral (redução do diâmetro) dada por
\varepsilon_{\text{lat}} = -\nu \varepsilon,
portanto o novo diâmetro é
d' = d\,(1+\varepsilon_{\text{lat}})=d\,(1-\nu\varepsilon).
Agora aplicamos essas fórmulas com os números do problema.

Passo 3

Cálculo da força aplicada F (peso do objeto):
F = m g = 18140\cdot10 = 181400\\ \mathrm{N}.
Cálculo da área da seção A:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\,(0,0313)^{2}}{4}.
Primeiro o quadrado do diâmetro:
(0,0313)^{2}=0,00097969.
Logo
A=\frac{\pi\cdot0,00097969}{4}=0,000769506\\ \mathrm{m^{2}}\approx7,69506\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Cálculo da deformação axial \varepsilon:
\varepsilon=\frac{F}{A E}=\frac{181400}{(7,69506\times10^{-4})\cdot(207\times10^{9})}.
Calculemos o denominador:
A E = 7,69506\times10^{-4}\cdot207\times10^{9}\approx1,59287742\times10^{8}.
Portanto
\varepsilon \approx\frac{181400}{1,59287742\times10^{8}}\approx1,1393\times10^{-3}.
Interpretação: \varepsilon\approx0,0011393 significa que o cabo alonga cerca de 0,11393\% do comprimento inicial.

Passo 5

Cálculo da elongação \Delta L e do novo comprimento L':
\Delta L=\varepsilon L=1,1393\times10^{-3}\cdot15\approx0,0170894\\ \mathrm{m}.
Logo o comprimento durante a elevação é
L' = L+\Delta L = 15 + 0,0170894 \approx 15,0170894\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática (mm):
L'\approx15,0171\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo do diâmetro após tração usando o coeficiente de Poisson:
  • Deformação lateral:
\varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\varepsilon=-0,33\cdot1,1393\times10^{-3}\approx-3,7597\times10^{-4}.
  • Novo diâmetro:
d' = d(1+\varepsilon_{\text{lat}})=0,0313\cdot(1-3,7597\times10^{-4}).
Calculando:
d'\approx0,0313\cdot0,99962403\approx0,03128827\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
d'\approx3,128827\\ \mathrm{cm}.
Arredondando adequadamente:
d'\approx3,1288\\ \mathrm{cm}.

Resposta

L' = 15,0171\\ \mathrm{m}
d' = 3,1288\\ \mathrm{cm}

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