) Determine a densidade linear nas direções [ 001 l l e [ 110 l 1 para o cobre CFC, sabendose que o raio atômico do cobre é igual a
e que a densidade linear é igual ao número de pontos de rede por unidade de comprimento na direção considerada.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a densidade linear nas direções
e
para o cobre com estrutura cúbica de face centrada (CFC), sabendo que o raio atômico do cobre é
. A densidade linear é definida como o número de centros atômicos (pontos de rede) por unidade de comprimento ao longo da direção considerada. Dados relevantes fornecidos:
Perguntas explícitas:
- Qual a densidade linear na direção
? - Qual a densidade linear na direção
?
Passo 2
Vou relacionar o raio atômico
com a constante de rede
para a estrutura CFC. Na CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal de face tem comprimento
e ao longo dela cabem quatro raios atômicos (dois raios do átomo de um canto + dois do átomo do canto oposto, passando pelo átomo do centro da face). Portanto a relação é:
Desse modo a constante de rede
é
Passo 3
Substituo o valor de
para obter
. Usando
:
Calculo numérico (mostrando as contas):
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Explico a regra prática para calcular densidade linear: escolho o menor segmento normalmente repetitivo ao longo da direção cristalográfica (o vetor de rede mínimo naquela direção) e conto quantos centros atômicos (inteiros, não partes) pertencem a esse segmento — se um átomo está exatamente na fronteira do segmento eu o conto apenas se eu definir o segmento incluindo o ponto inicial e excluindo o final, para não duplicar. A densidade linear é:
Passo 5
Cálculo para a direção
. Esta direção é paralela à aresta do cubo e o menor segmento repetitivo tem comprimento
. Os centros atômicos ao longo dessa aresta aparecem em posições
. No segmento de comprimento
(tomando
) há exatamente um centro atômico (o da posição inicial). Portanto o número de centros por segmento repetitivo é
e:
Substituindo
obtenho a expressão em função de
:
Agora o valor numérico com
:
Passo 6
Cálculo para a direção
. Esta direção corresponde à diagonal da face do cubo no plano, e o menor segmento repetitivo entre pontos de rede ao longo dessa direção tem comprimento
(vai de um canto ao canto oposto da mesma face). Ao longo desse segmento aparecem três centros alinhados se eu olhar a face: canto inicial, centro da face (posição
) e canto final. Tomando o segmento
conto o canto inicial e o centro da face, ou seja
centros por segmento repetitivo. Então:
Substituindo
simplifico:
Agora o valor numérico com
:
Arredondando:
Passo 7
Interpretação rápida (motivacional): a direção
é mais “congestionada” porque passa pelo átomo do centro da face entre os cantos, então há mais centros por unidade de comprimento do que ao longo da aresta
. Resultado faz sentido físico — na prova lembre-se: conte centros por segmento repetitivo e evite duplicar pontos nas fronteiras.