7^{\circ} ) Determine a densidade linear nas direções [ 001 l l e [ 110 l 1 para o cobre CFC, sabendose que o raio atômico do cobre é igual a 0,128 \mathrm{~nm} e que a densidade linear é igual ao número de pontos de rede por unidade de comprimento na direção considerada.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a densidade linear nas direções [001] e [110] para o cobre com estrutura cúbica de face centrada (CFC), sabendo que o raio atômico do cobre é \,0,128\\ \mathrm{nm}. A densidade linear é definida como o número de centros atômicos (pontos de rede) por unidade de comprimento ao longo da direção considerada. Dados relevantes fornecidos:
R = 0,128\\ \mathrm{nm}.
Perguntas explícitas:
  1. Qual a densidade linear na direção [001]?
  2. Qual a densidade linear na direção [110]?

Passo 2

Vou relacionar o raio atômico R com a constante de rede a para a estrutura CFC. Na CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo. A diagonal de face tem comprimento \sqrt{2}\,a e ao longo dela cabem quatro raios atômicos (dois raios do átomo de um canto + dois do átomo do canto oposto, passando pelo átomo do centro da face). Portanto a relação é:
\sqrt{2}\,a = 4R.
Desse modo a constante de rede a é
a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,R.

Passo 3

Substituo o valor de R para obter a. Usando R=0,128\\ \mathrm{nm}:
a = 2\sqrt{2}\cdot 0,128\\ \mathrm{nm}.
Calculo numérico (mostrando as contas):
2\sqrt{2}\approx 2{,}82842712,\quad a \approx 2{,}82842712\times 0{,}128\\ \mathrm{nm}=0{,}36203867\\ \mathrm{nm}.
Arredondando razoavelmente:
a \approx 0{,}3620\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Explico a regra prática para calcular densidade linear: escolho o menor segmento normalmente repetitivo ao longo da direção cristalográfica (o vetor de rede mínimo naquela direção) e conto quantos centros atômicos (inteiros, não partes) pertencem a esse segmento — se um átomo está exatamente na fronteira do segmento eu o conto apenas se eu definir o segmento incluindo o ponto inicial e excluindo o final, para não duplicar. A densidade linear é:
\text{densidade linear}=\frac{\text{número de centros atômicos no segmento repetitivo}}{\text{comprimento do segmento repetitivo}}.úô

Passo 5

Cálculo para a direção [001]. Esta direção é paralela à aresta do cubo e o menor segmento repetitivo tem comprimento a. Os centros atômicos ao longo dessa aresta aparecem em posições (0,0,0), (0,0,a), (0,0,2a),\dots. No segmento de comprimento a (tomando [0,a)) há exatamente um centro atômico (o da posição inicial). Portanto o número de centros por segmento repetitivo é 1 e:
\text{LD}_{[001]}=\frac{1}{a}.
Substituindo a=2\sqrt{2}\,R obtenho a expressão em função de R:
\text{LD}_{[001]}=\frac{1}{2\sqrt{2}\,R}.
Agora o valor numérico com R=0,128\\ \mathrm{nm}:
\text{LD}_{[001]}=\frac{1}{0{,}36203867\\ \mathrm{nm}}\approx 2{,}762\\ \mathrm{nm}^{-1}.

Passo 6

Cálculo para a direção [110]. Esta direção corresponde à diagonal da face do cubo no plano, e o menor segmento repetitivo entre pontos de rede ao longo dessa direção tem comprimento \sqrt{2}\,a (vai de um canto ao canto oposto da mesma face). Ao longo desse segmento aparecem três centros alinhados se eu olhar a face: canto inicial, centro da face (posição (a/2,a/2,0)) e canto final. Tomando o segmento [0,\sqrt{2}\,a) conto o canto inicial e o centro da face, ou seja 2 centros por segmento repetitivo. Então:
\text{LD}_{[110]}=\frac{2}{\sqrt{2}\,a}=\frac{\sqrt{2}}{a}.
Substituindo a=2\sqrt{2}\,R simplifico:
\text{LD}_{[110]}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\,R}=\frac{1}{2R}.
Agora o valor numérico com R=0,128\\ \mathrm{nm}:
\text{LD}_{[110]}=\frac{1}{2\times 0{,}128\\ \mathrm{nm}}=\frac{1}{0{,}256\\ \mathrm{nm}}=3{,}90625\\ \mathrm{nm}^{-1}.
Arredondando:
\text{LD}_{[110]}\approx 3{,}906\\ \mathrm{nm}^{-1}.

Passo 7

Interpretação rápida (motivacional): a direção [110] é mais “congestionada” porque passa pelo átomo do centro da face entre os cantos, então há mais centros por unidade de comprimento do que ao longo da aresta [001]. Resultado faz sentido físico — na prova lembre-se: conte centros por segmento repetitivo e evite duplicar pontos nas fronteiras.

Resposta

\text{LD}_{[001]}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}\,R}=\dfrac{1}{a}\approx 2{,}762\\ \mathrm{nm}^{-1}
\text{LD}_{[110]}=\dfrac{1}{2R}\approx 3{,}906\\ \mathrm{nm}^{-1}

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