) O ouro forma uma solução substitucional com a prata. Calcule o percentual de ouro (Au), em massa, que deve ser adicionado à prata (Ag), de forma que a liga contenha
1021 átomos de Au por
. Considere as densidades teóricas do ouro e prata puros iguais a
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o percentual de ouro (Au), em massa, que deve ser adicionado à prata (Ag) para que a liga contenha
átomos de Au por
.
Dados fornecidos no enunciado:
Valores físicos que usarei (constantes e massas molares; não foram dados no enunciado, são valores padrão):
Observação do enunciado: a solução é substitucional — isto nos permite modelar o volume atômico da liga como uma média ponderada dos volumes atômicos dos elementos (regra de mistura linear para volume atômico). A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos calcular o volume atômico (volume ocupado por um átomo) de cada metal puro. A fórmula relacionando volume atômico
(em
), massa molar
(em
), densidade
(em
) e o número de Avogadro
é:
Explicação da fórmula:
é a massa de
átomos (ou 1 mol); dividindo
por
obtemos o volume ocupado por 1 mol (em
); dividindo esse volume por
obtemos o volume ocupado por um átomo.
Calculemos
e
:
Interpretação numérica: cada átomo de Au ocupa cerca de
e cada átomo de Ag cerca de
.
Passo 3
Modelagem da liga (substitucional): seja
a fração atômica de Au (i.e.,
número de átomos de Au dividido pelo número total de átomos na liga). Por hipótese de mistura linear do volume atômico (Vegard-like para volumes), o volume atômico médio da liga é:
O número total de átomos por
da liga é
(pois cada átomo ocupa
em média). O número de átomos de Au por
vale então
Queremos que
. A equação que determina
é portanto:
Passo 4
Vamos manipular algebricamente a equação para isolar
.
Partimos de
Para simplificar escrevo
em vez de
. Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Distribuindo:
Colocando todos os termos que contêm
do mesmo lado:
Fatorando
:
Finalmente,
Essa fórmula nos dá a fração atômica de Au necessária.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
Calculemos as quantidades intermediárias:
Logo
Interpretação: a fração atômica de Au necessária é
, ou seja cerca de
em termos atômicos.
Passo 6
Precisamos do percentual em massa. A relação entre fração atômica
e fração mássica
é:
Explicação: o numerador é a massa de Au por “unidade atômica” de mistura (fração atômica vezes massa molar), e o denominador é a massa total por essa mesma “unidade”.
Substituindo
e os
:
Portanto
Como porcentagem em massa:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: a fração atômica de Au é relativamente pequena (
em átomos) porque cada átomo de Au é mais pesado que um átomo de Ag; por isso a fração mássica correspondente é maior (
em massa). Os arredondamentos feitos foram mínimos, e o procedimento seguiu a suposição razoável de mistura substitucional com volume atômico médio dado por uma média ponderada.