\mathbf{1 0}^{\boldsymbol{\circ}} ) O ouro forma uma solução substitucional com a prata. Calcule o percentual de ouro (Au), em massa, que deve ser adicionado à prata (Ag), de forma que a liga contenha 5,5 \mathrm{x} 1021 átomos de Au por \mathrm{cm}^{3}. Considere as densidades teóricas do ouro e prata puros iguais a 19,32 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 10,49 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o percentual de ouro (Au), em massa, que deve ser adicionado à prata (Ag) para que a liga contenha \,5{,}5\times10^{21}\, átomos de Au por \mathrm{cm}^3.
Dados fornecidos no enunciado:
\begin{aligned} &\text{Densidade do ouro puro: }\rho_{\mathrm{Au}} = 19{,}32\\ \mathrm{g/cm^3},\\\ &\text{Densidade da prata pura: }\rho_{\mathrm{Ag}} = 10{,}49\\ \mathrm{g/cm^3},\\\ &\text{Concentração desejada de Au: }n_{\mathrm{Au}}^{\text{(meta)}} = 5{,}5\times10^{21}\\ \text{átomos/cm}^3. \end{aligned}çãá
Valores físicos que usarei (constantes e massas molares; não foram dados no enunciado, são valores padrão):
\begin{aligned} &N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},\\\ &M_{\mathrm{Au}} = 196{,}97\\ \mathrm{g/mol},\\\ &M_{\mathrm{Ag}} = 107{,}87\\ \mathrm{g/mol}. \end{aligned}
Observação do enunciado: a solução é substitucional — isto nos permite modelar o volume atômico da liga como uma média ponderada dos volumes atômicos dos elementos (regra de mistura linear para volume atômico). A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos calcular o volume atômico (volume ocupado por um átomo) de cada metal puro. A fórmula relacionando volume atômico v (em \mathrm{cm}^3/\text{átomo}á), massa molar M (em \mathrm{g/mol}), densidade \rho (em \mathrm{g/cm^3}) e o número de Avogadro N_A é:
v=\frac{M}{\rho\,N_A}.
Explicação da fórmula: M é a massa de N_A átomos (ou 1 mol); dividindo M por \rho obtemos o volume ocupado por 1 mol (em \mathrm{cm^3}); dividindo esse volume por N_A obtemos o volume ocupado por um átomo.
Calculemos v_{\mathrm{Au}} e v_{\mathrm{Ag}}:
v_{\mathrm{Au}}=\frac{M_{\mathrm{Au}}}{\rho_{\mathrm{Au}}\,N_A} =\frac{196{,}97}{19{,}32\times6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{cm^3/átomo} \approx 1{,}6929\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3/átomo}.áá
v_{\mathrm{Ag}}=\frac{M_{\mathrm{Ag}}}{\rho_{\mathrm{Ag}}\,N_A} =\frac{107{,}87}{10{,}49\times6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{cm^3/átomo} \approx 1{,}7079\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3/átomo}.áá
Interpretação numérica: cada átomo de Au ocupa cerca de 1{,}6929\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3} e cada átomo de Ag cerca de 1{,}7079\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 3

Modelagem da liga (substitucional): seja X a fração atômica de Au (i.e., X= número de átomos de Au dividido pelo número total de átomos na liga). Por hipótese de mistura linear do volume atômico (Vegard-like para volumes), o volume atômico médio da liga é:
v_{\text{liga}} = X\,v_{\mathrm{Au}} + (1-X)\,v_{\mathrm{Ag}}.
O número total de átomos por \mathrm{cm^3} da liga é n_{\text{total}} = \dfrac{1}{v_{\text{liga}}} (pois cada átomo ocupa v_{\text{liga}} em média). O número de átomos de Au por \mathrm{cm^3} vale então
n_{\mathrm{Au}} = X\,n_{\text{total}} = \frac{X}{v_{\text{liga}}} = \frac{X}{X\,v_{\mathrm{Au}} + (1-X)\,v_{\mathrm{Ag}}}.
Queremos que n_{\mathrm{Au}} = n_{\mathrm{Au}}^{\text{(meta)}} = 5{,}5\times10^{21}\\ \mathrm{cm^{-3}}. A equação que determina X é portanto:
\frac{X}{X\,v_{\mathrm{Au}} + (1-X)\,v_{\mathrm{Ag}}} = n_{\mathrm{Au}}^{\text{(meta)}}.

Passo 4

Vamos manipular algebricamente a equação para isolar X.
Partimos de
\frac{X}{X\,v_{\mathrm{Au}} + (1-X)\,v_{\mathrm{Ag}}} = n.
Para simplificar escrevo n em vez de n_{\mathrm{Au}}^{\text{(meta)}}. Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
X = n\bigl(X\,v_{\mathrm{Au}} + (1-X)\,v_{\mathrm{Ag}}\bigr).
Distribuindo:
X = n\bigl(X\,v_{\mathrm{Au}} + v_{\mathrm{Ag}} - X\,v_{\mathrm{Ag}}\bigr) = n\bigl(v_{\mathrm{Ag}} + X(v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}})\bigr).
Colocando todos os termos que contêm X do mesmo lado:
X - n\,X(v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}}) = n\,v_{\mathrm{Ag}}.
Fatorando X:
X\bigl(1 - n(v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}})\bigr) = n\,v_{\mathrm{Ag}}.
Finalmente,
X = \frac{n\,v_{\mathrm{Ag}}}{1 - n(v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}})}.
Essa fórmula nos dá a fração atômica de Au necessária.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
\begin{aligned} &v_{\mathrm{Au}} \approx 1{,}6929\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3/átomo},\\\ &v_{\mathrm{Ag}} \approx 1{,}7079\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3/átomo},\\\ &n = 5{,}5\times10^{21}\\ \mathrm{átomos/cm^3}. \end{aligned}ááá
Calculemos as quantidades intermediárias:
v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}} \approx -1{,}493\times10^{-25}\\ \mathrm{cm^3/átomo}.á
n\,(v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}}) \approx 5{,}5\times10^{21}\times(-1{,}493\times10^{-25}) \approx -8{,}21\times10^{-4}.
1 - n(v_{\mathrm{Au}}-v_{\mathrm{Ag}}) \approx 1{,}000821.
n\,v_{\mathrm{Ag}} \approx 5{,}5\times10^{21}\times1{,}7079\times10^{-23} \approx 0{,}09393.
Logo
X \approx \frac{0{,}09393}{1{,}000821} \approx 0{,}09385.
Interpretação: a fração atômica de Au necessária é \,X\approx0{,}09385, ou seja cerca de 9{,}385\% em termos atômicos.

Passo 6

Precisamos do percentual em massa. A relação entre fração atômica X e fração mássica w_{\mathrm{Au}} é:
w_{\mathrm{Au}} = \frac{X\,M_{\mathrm{Au}}}{X\,M_{\mathrm{Au}} + (1-X)\,M_{\mathrm{Ag}}}.
Explicação: o numerador é a massa de Au por “unidade atômica” de mistura (fração atômica vezes massa molar), e o denominador é a massa total por essa mesma “unidade”.
Substituindo X e os M:
\begin{aligned} X\,M_{\mathrm{Au}} &\approx 0{,}09385\times196{,}97 \approx 18{,}4986,\\\ (1-X)\,M_{\mathrm{Ag}} &\approx 0{,}90615\times107{,}87 \approx 97{,}7471,\\\ \text{denominador} &\approx 18{,}4986 + 97{,}7471 = 116{,}2457. \end{aligned}
Portanto
w_{\mathrm{Au}} \approx \frac{18{,}4986}{116{,}2457} \approx 0{,}15912.
Como porcentagem em massa:
\%\\ \mathrm{Au\\ (massa)} = 100\times w_{\mathrm{Au}} \approx 15{,}912\%.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a fração atômica de Au é relativamente pequena ( \sim9{,}4\% em átomos) porque cada átomo de Au é mais pesado que um átomo de Ag; por isso a fração mássica correspondente é maior ( \sim15{,}9\% em massa). Os arredondamentos feitos foram mínimos, e o procedimento seguiu a suposição razoável de mistura substitucional com volume atômico médio dado por uma média ponderada.

Resposta

15{,}91\%

Exercícios relacionados