15^circ ) Desenvolver em série de Maclaurin, (os três primeiros termos), para as seguintes funções:
a) f(x)=tg x

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin (ou seja, em torno de x=0) da função
f(x)=tan x
obtendo os três primeiros termos não-nulos. Vamos usar a fórmula
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
e computar as derivadas necessárias em x=0.

Passo 2

Calculamos as primeiras derivadas de tan x e avaliamos em x=0:
f(x)=tan x, f(0)=0
f'(x)=sec^2 x, f'(0)=1
f''(x)=2sec^2 x,tan x, f''(0)=0
f'''(x)=2l(2sec^2 x,tan^2 x+sec^4 xr), f'''(0)=2
f^(4)(x)=16sec^4 x,tan x+8sec^2 x,tan^3 x, f^(4)(0)=0
f^(5)(x)=88sec^4 x,tan^2 x+16sec^6 x+16sec^2 x,tan^4 x, f^(5)(0)=16

Passo 3

Aplicamos a fórmula da série de Maclaurin até a ordem x^5:
tan x =f(0)0!x^0+f'(0)1!x^1+f''(0)2!x^2 +f'''(0)3!x^3+f^(4)(0)4!x^4 +f^(5)(0)5!x^5+cdots
Substituindo os valores:
tan x =0 + 1cdot x + 0 + 23!x^3 + 0 + 165!x^5 + cdots
Como 3!=6 e 5!=120, isso fica
tan x = x + 26,x^3 + 16120,x^5 + cdots = x + 13,x^3 + 215,x^5 + cdots

Resposta

tan x = x + 13,x^3 + 215,x^5 + cdots

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