\left.12^{\circ}\right) Calcular a área da região delimitada por y=x^{3}, y=-x e y=\frac{2 x}{3}+\frac{20}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
y = x^3,\quad y = -x,\quad y = \tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3}.
O conteúdo aqui é área entre curvas, que se resolve com integrais definidas da diferença entre a função superior e a inferior. Precisamos primeiro achar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção:
  1. x^3 = -x \,\Rightarrow x^3 + x = 0 \,\Rightarrow x(x^2+1)=0 \,\Rightarrow x=0. Ponto (0,0).
  2. x^3 = \tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3} \,\Rightarrow 3x^3 = 2x + 20 \,\Rightarrow 3x^3 - 2x - 20 = 0. Testando x=2 dá zero. As outras raízes são complexas. Ponto (2,8).
  3. -x = \tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3} \,\Rightarrow -3x = 2x + 20 \,\Rightarrow x=-4. Então y=-(-4)=4. Ponto (-4,4).

Passo 3

Determinar qual curva é superior e qual é inferior em cada intervalo de x:
  • Para x\in[-4,0]: a reta y = \tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3} está acima de y=-x.
  • Para x\in[0,2]: a reta y = \tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3} está acima de y=x^3.
Logo a área total é
A = \int_{-4}^{0}\Bigl[\bigl(\tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3}\bigr) - (-x)\Bigr]dx \;+\; \int_{0}^{2}\Bigl[\bigl(\tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3}\bigr) - x^3\Bigr]dx.

Passo 4

Escrever cada integral de forma explícita:
I_1 = \int_{-4}^{0}\Bigl(\tfrac{2x}{3} + x + \tfrac{20}{3}\Bigr)dx, \qquad I_2 = \int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3} - x^3\Bigr)dx.

Passo 5

Calcular I_1 e I_2:
I_1 = \int_{-4}^{0}\Bigl(\tfrac{5x}{3} + \tfrac{20}{3}\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{5x^2}{6} + \tfrac{20x}{3}\Bigr]_{-4}^{0} = 0 - \bigl(\tfrac{5\cdot16}{6} - \tfrac{80}{3}\bigr) = \tfrac{40}{3}.
I_2 = \int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{2x}{3} + \tfrac{20}{3} - x^3\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{3} + \tfrac{20x}{3} - \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(\tfrac{4}{3} + \tfrac{40}{3} - 4\Bigr) - 0 = \tfrac{32}{3}.

Passo 6

Somando as duas partes, a área total é
A = I_1 + I_2 = \tfrac{40}{3} + \tfrac{32}{3} = 24.

Resposta

24

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