11^{\circ} ) Calcular a integral \iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A, onde R é a região x^{2}+y^{2} \leq 25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dA
onde R é o disco x^{2}+y^{2}\le25. O conteúdo aqui é usar coordenadas polares para aproveitar a simetria circular.

Passo 2

Fazendo a troca para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
temos \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r e o elemento de área dA = r\,dr\,d\theta. Logo, o integrando vira
r\cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Em coordenadas polares a região R fica
0\le r\le5,\quad 0\le\theta\le2\pi,
então a integral se torna
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{5}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a parte radial:
\int_{0}^{5}r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{5} = \frac{125}{3}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi
e multiplicamos pelos resultados:
2\pi\cdot\frac{125}{3} = \frac{250\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{250\pi}{3}

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