Ar a 15^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm está escoando sobre uma placa plana a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Obtenha a espessura da camada limite a 0,3 \mathrm{~m} da borda de ataque. Calcule também o coeficiente de atrito médio nos primeiros 0,3 \mathrm{~m} da placa considerando uma largura de 0,3 \mathrm{~m}. Por fim, obtenha a grandeza das velocidades u e v quando \mathrm{x}=0,3 \mathrm{~m} e \mathrm{y}=\delta / 2. Dados: v_{\text {ar }}=1,461 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e o que já foi dado.
O que o enunciado pede:
  • Obter a espessura da camada limite (no critério usual de 99% da velocidade livre) em x=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o coeficiente de atrito médio nos primeiros 0{,}3\\ \mathrm{m} da placa, considerando que a placa tem largura (no sentido perpendicular ao escoamento) de 0{,}3\\ \mathrm{m}. (Vou interpretar isso como pedir o coeficiente de atrito médio adimensional e também, já que a largura foi dada, calcular a força de atrito total sobre a área 0{,}3\times0{,}3\\ \mathrm{m}^2.)
  • Obter as componentes das velocidades u e v no ponto \;x=0{,}3\\ \mathrm{m},\; y=\delta/2, onde \delta é a espessura da camada limite calculada na primeira parte.
Dados fornecidos:
  • Velocidade de escoamento livre: \,U_\infty = 10\\ \mathrm{m/s}.
  • Temperatura e pressão ambiente: 15^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} (usadas apenas se precisarmos da densidade; vou usar a densidade padrão do ar a 15^\circ\mathrm{C}, \rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}, valor usual).
  • Viscosidade cinemática do ar: \,\nu = 1{,}461\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Posição onde avaliar: x=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Largura da placa (span): b=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Observação importante: vou assumir fluxo laminar sobre a placa (Blasius) e usar as fórmulas padrão da solução de Blasius para camada limite laminar sobre placa plana sem pressão externa. Se aparecer algo diferente no enunciado (por ex. transição turbulenta antes de 0{,}3\\ \mathrm{m}) precisaríamos saber — aqui assumimos laminar até x=0{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o número de Reynolds baseado em x=0{,}3\\ \mathrm{m},
\mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty x}{\nu}.
Explicando a fórmula: \mathrm{Re}_x é adimensional e compara os efeitos de inércia ( U_\infty x) com viscosidade ( \nu). Para escoamentos sobre placa plana usamos esse Reynolds local para decidir se a camada limite é laminar ou turbulenta e para aplicar fórmulas de Blasius quando laminar.
Calculemos:
\mathrm{Re}_x=\frac{10\cdot 0{,}3}{1{,}461\times 10^{-5}}=\frac{3}{1{,}461\times 10^{-5}}.
Agora a divisão:
\mathrm{Re}_x \approx 2{,}053\times 10^{5}\quad(\text{aprox. }2,05\times10^{5}).

Passo 3

Espessura da camada limite (critério clássico \delta_{99}, solução de Blasius para camada limite laminar):
Fórmula usada:
\delta_{99}(x)\approx 5{,}0\,\frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
Outra forma equivalente, útil numericamente:
\delta_{99}(x)=5{,}0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}.
Explicando: a solução autossimilar de Blasius mostra que a posição onde a velocidade atinge cerca de 99\% da velocidade livre (usualmente tomada como espessura da camada limite) escala como x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}, e o fator empírico é aproximadamente 5{,}0.
Agora o cálculo numérico (uso a forma com raiz para evitar recomputar raiz de Re):
\delta_{99}=5{,}0\sqrt{\frac{1{,}461\times10^{-5}\cdot 0{,}3}{10}}.
Calcule o termo dentro da raiz:
\frac{\nu x}{U_\infty}=\frac{1{,}461\times10^{-5}\cdot 0{,}3}{10}=4{,}383\times10^{-7}.
Raiz:
\sqrt{4{,}383\times10^{-7}}\approx 6{,}627\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Multiplicando por 5{,}0:
\delta_{99}\approx 5{,}0\times 6{,}627\times10^{-4}=3{,}3135\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Portanto
\delta_{99}(x=0{,}3\\ \mathrm{m})\approx 3{,}31\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }3{,}3\\ \mathrm{mm}).

Passo 4

Agora calculamos o coeficiente de atrito médio nos primeiros L=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Primeiro, lembrar fórmulas:
  • O coeficiente de atrito local (adimensional) em regime laminar sobre placa (Blasius) é
c_{f,x}=\frac{\tau_w(x)}{\tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2}=\frac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
Explicando: \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede; a expressão acima é a solução de Blasius para o coeficiente local (note o 0{,}664).
  • O coeficiente de atrito médio no trecho de 0 a L (média espacial) é
\overline{c_f}(0\to L)=\frac{1}{L}\int_0^L c_{f,x}\,dx = \frac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}},
onde \mathrm{Re}_L=U_\infty L/\nu. Esta expressão resulta da integração do c_{f,x}\propto 1/\sqrt{\mathrm{Re}_x}. O fator 1{,}328 é simplesmente 2\times 0{,}664.
Calcule \mathrm{Re}_L (já fizemos anteriormente para x=0{,}3\\ \mathrm{m}, é o mesmo):
\mathrm{Re}_L=\mathrm{Re}_x\approx 2{,}053\times10^{5}.
Agora a média:
\overline{c_f}=\frac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}}.
Calcule a raiz:
\sqrt{\mathrm{Re}_L}\approx \sqrt{2{,}053\times10^{5}}\approx 452{,}6.
Logo
\overline{c_f}\approx\frac{1{,}328}{452{,}6}\approx 2{,}934\times10^{-3}.
Então o coeficiente de atrito médio adimensional nos primeiros 0{,}3\\ \mathrm{m} é
\overline{c_f}\approx 2{,}93\times 10^{-3}.

Passo 5

Como foi fornecida a largura b=0{,}3\\ \mathrm{m}, convém também calcular a força de arrasto por fricção (drag por cisalhamento) sobre a área A=L\cdot b.
Fórmula para a força de arrasto por fricção média:
D = \overline{c_f}\cdot \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2\cdot A,
onde A=L\cdot b. Explicando: \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2 é a pressão dinâmica; multiplicando por c_f obtemos tensão média adimensional; multiplicando por área dá força.
Usei \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão do ar a 15^\circ\mathrm{C} e 1 atm). Área:
A=0{,}3\cdot 0{,}3=0{,}09\\ \mathrm{m^2}.
Pressão dinâmica:
\tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}225\cdot 10^2=61{,}25\\ \mathrm{N/m^2}.
Agora a força:
D=2{,}934\times10^{-3}\times 61{,}25\times 0{,}09.
Calcule passo a passo: 61{,}25\times 0{,}09=5{,}5125. Multiplicando por \overline{c_f}:
D\approx 2{,}934\times10^{-3}\times 5{,}5125 \approx 1{,}6168\times10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Ou seja,
D\approx 1{,}62\times10^{-2}\\ \mathrm{N}\quad(\text{força de atrito total sobre }0{,}3\times0{,}3\\ \mathrm{m}^2).ç

Passo 6

Agora obtemos as componentes de velocidade u e v em x=0{,}3\\ \mathrm{m} e y=\delta/2.
Método: para camada limite laminar sobre placa usamos a solução autossimilar de Blasius. Introduz-se a variável semivariável
\eta = y\sqrt{\frac{U_\infty}{\nu x}}.
A velocidade tangencial u é dada por
u(x,y)=U_\infty\,f'(\eta),
onde f(\eta) é a função solução da equação de Blasius e f'(\eta) é sua derivada. A velocidade normal v é dada por
v(x,y)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu U_\infty}{x}}\;\big[\eta f'(\eta)-f(\eta)\big].
Explicando: f e f' são obtidos ao resolver numericamente a equação de terceira ordem de Blasius. Em aplicações práticas costuma-se usar valores tabulados de f e f' em pontos \eta (ou usar aproximações). Aqui usaremos que a definição de \delta_{99} corresponde aproximadamente a \eta_\delta\approx 5{,}0. Como estamos avaliando em y=\delta/2, o correspondente
\eta=\frac{y}{\delta}\eta_\delta=\frac{1}{2}\cdot 5{,}0=2{,}5.
Então precisamos de f(2{,}5) e f'(2{,}5). Essas quantidades são obtidas a partir da solução padrão de Blasius; valores tabulados de referência para a solução dão (valores tabulados padrão, arredondados):
f'(2{,}5)\approx 0{,}933\quad\text{e}\quad f(2{,}5)\approx 1{,}502.
Observação: estes números são retirados de tabelas padrão da solução de Blasius (são valores tabulados da função autossimilar). Eles são utilizados frequentemente nas aulas e provas; pequenas variações de arredondamento são normais, mas isso altera pouco o resultado prático.

Passo 7

Calcule \eta numericamente (repetindo a ideia):
\eta=2{,}5\quad(\text{já encontrado por }y=\delta/2).á
Agora u:
u=U_\infty f'(\eta)=10\cdot 0{,}933=9{,}33\\ \mathrm{m/s}.
Agora v. Primeiro calcule o fator prefatorial:
\sqrt{\frac{\nu U_\infty}{x}}=\sqrt{\frac{1{,}461\times10^{-5}\cdot 10}{0{,}3}}=\sqrt{4{,}87\times10^{-4}}\approx 2{,}207\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Meia desse valor:
\tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu U_\infty}{x}}\approx 1{,}1035\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Agora o termo entre colchetes:
\eta f'(\eta)-f(\eta)=2{,}5\cdot 0{,}933 - 1{,}502 = 2{,}3325 - 1{,}502 = 0{,}8305.
Multiplicando:
v\approx 1{,}1035\times10^{-2}\times 0{,}8305 \approx 9{,}17\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto as componentes no ponto pedido são aproximadamente
u\approx 9{,}33\\ \mathrm{m/s},\qquad v\approx 9{,}17\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\delta_{99}(x=0{,}3\\ \mathrm{m})\approx 3{,}31\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
\overline{c_f}(0\to0{,}3\\ \mathrm{m})\approx 2{,}93\times10^{-3}
Força de atrito total sobre a área 0{,}3\times0{,}3\\ \mathrm{m}^2: D\approx 1{,}62\times10^{-2}\\ \mathrm{N}
u(x=0{,}3\\ \mathrm{m},\,y=\delta/2)\approx 9{,}33\\ \mathrm{m/s}
v(x=0{,}3\\ \mathrm{m},\,y=\delta/2)\approx 9{,}17\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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