Ar a 15^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm está escoando sobre uma placa plana a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Obtenha a espessura da camada limite a 0,3 \mathrm{~m} da borda de ataque. Calcule também o coeficiente de atrito médio nos primeiros 0,3 \mathrm{~m} da placa considerando uma largura de 0,3 \mathrm{~m}. Por fim, obtenha a grandeza das velocidades u e v quando \mathrm{x}=0,3 \mathrm{~m} e \mathrm{y}=\delta / 2. Dados: v_{\text {ar }}=1,461 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e o que já foi dado.
O que o enunciado pede:
Obter a espessura da camada limite (no critério usual de 99% da velocidade livre) em x=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Calcular o coeficiente de atrito médio nos primeiros 0{,}3\\ \mathrm{m} da placa, considerando que a placa tem largura (no sentido perpendicular ao escoamento) de 0{,}3\\ \mathrm{m}. (Vou interpretar isso como pedir o coeficiente de atrito médio adimensional e também, já que a largura foi dada, calcular a força de atrito total sobre a área 0{,}3\times0{,}3\\ \mathrm{m}^2.)
Obter as componentes das velocidades u e v no ponto \;x=0{,}3\\ \mathrm{m},\; y=\delta/2, onde \delta é a espessura da camada limite calculada na primeira parte.
Dados fornecidos:
Velocidade de escoamento livre: \,U_\infty = 10\\ \mathrm{m/s}.
Temperatura e pressão ambiente: 15^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} (usadas apenas se precisarmos da densidade; vou usar a densidade padrão do ar a 15^\circ\mathrm{C}, \rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}, valor usual).
Viscosidade cinemática do ar: \,\nu = 1{,}461\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Posição onde avaliar: x=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Largura da placa (span): b=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Observação importante: vou assumir fluxo laminar sobre a placa (Blasius) e usar as fórmulas padrão da solução de Blasius para camada limite laminar sobre placa plana sem pressão externa. Se aparecer algo diferente no enunciado (por ex. transição turbulenta antes de 0{,}3\\ \mathrm{m}) precisaríamos saber — aqui assumimos laminar até x=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o número de Reynolds baseado em x=0{,}3\\ \mathrm{m},
\mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty x}{\nu}.
Explicando a fórmula: \mathrm{Re}_x é adimensional e compara os efeitos de inércia (U_\infty x) com viscosidade (\nu). Para escoamentos sobre placa plana usamos esse Reynolds local para decidir se a camada limite é laminar ou turbulenta e para aplicar fórmulas de Blasius quando laminar.
Explicando: a solução autossimilar de Blasius mostra que a posição onde a velocidade atinge cerca de 99\% da velocidade livre (usualmente tomada como espessura da camada limite) escala como x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}, e o fator empírico é aproximadamente 5{,}0.
Agora o cálculo numérico (uso a forma com raiz para evitar recomputar raiz de Re):
onde \mathrm{Re}_L=U_\infty L/\nu. Esta expressão resulta da integração do c_{f,x}\propto 1/\sqrt{\mathrm{Re}_x}. O fator 1{,}328 é simplesmente 2\times 0{,}664.
Calcule \mathrm{Re}_L (já fizemos anteriormente para x=0{,}3\\ \mathrm{m}, é o mesmo):
Então o coeficiente de atrito médio adimensional nos primeiros 0{,}3\\ \mathrm{m} é
\overline{c_f}\approx 2{,}93\times 10^{-3}.
Passo 5
Como foi fornecida a largura b=0{,}3\\ \mathrm{m}, convém também calcular a força de arrasto por fricção (drag por cisalhamento) sobre a área A=L\cdot b.
Fórmula para a força de arrasto por fricção média:
D = \overline{c_f}\cdot \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2\cdot A,
onde A=L\cdot b. Explicando: \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2 é a pressão dinâmica; multiplicando por c_f obtemos tensão média adimensional; multiplicando por área dá força.
Usei \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão do ar a 15^\circ\mathrm{C} e 1 atm). Área:
Explicando: f e f' são obtidos ao resolver numericamente a equação de terceira ordem de Blasius. Em aplicações práticas costuma-se usar valores tabulados de f e f' em pontos \eta (ou usar aproximações). Aqui usaremos que a definição de \delta_{99} corresponde aproximadamente a \eta_\delta\approx 5{,}0. Como estamos avaliando em y=\delta/2, o correspondente
Então precisamos de f(2{,}5) e f'(2{,}5). Essas quantidades são obtidas a partir da solução padrão de Blasius; valores tabulados de referência para a solução dão (valores tabulados padrão, arredondados):
Observação: estes números são retirados de tabelas padrão da solução de Blasius (são valores tabulados da função autossimilar). Eles são utilizados frequentemente nas aulas e provas; pequenas variações de arredondamento são normais, mas isso altera pouco o resultado prático.
Passo 7
Calcule \eta numericamente (repetindo a ideia):
\eta=2{,}5\quad(\text{já encontrado por }y=\delta/2).á