Considere o escoamento paralelo de um fluido a 0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa plana larga, com 30 cm de comprimento. Dados: \rho_{\mathrm{ar}}=1,204 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu_{\mathrm{ar}}=1,825 \times 10^{-5} Pa.s; \rho_{\text {água }}= 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á e \mu_{\text {água }}=1 \times 10^{-3}á Pa.s.
Calcule a espessura \delta da camada limite, no bordo de fuga, sendo o fluido \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: calcular a espessura da camada limite \delta no bordo de fuga da placa (ou seja, em x=0,30\\ \mathrm{m}), considerando o fluido \mathrm{H_2O}.
  • Dados (peguei do enunciado):
    • Velocidade do escoamento livre: U_\infty = 0,3\\ \mathrm{m/s}.
    • Comprimento da placa (posição onde avaliar): x = 0,30\\ \mathrm{m}.
    • Para a água: \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
A nossa tarefa é encontrar \delta em x=0,30\\ \mathrm{m} usando essas informações.

Passo 2

Qual método vamos usar (intuição e fórmula) — sem pular etapas.
  • Para escoamento paralelo sobre uma placa plana, quando o escoamento perto da placa é laminar e estacionário, a solução de Blasius para a camada limite dá uma estimativa clássica da espessura da camada limite (definida normalmente como \delta_{99}, ou seja, a distância da placa em que a velocidade atinge 99\% de U_\infty).
  • A fórmula empírica usada comumente (resultado da solução de Blasius) é
\delta(x) \approx 5\,\sqrt{\dfrac{\nu\,x}{U_\infty}},
onde:
  • \delta(x) é a espessura da camada limite no ponto x medido desde a borda de ataque;
  • \nu é a viscosidade cinemática do fluido ( \nu=\dfrac{\mu}{\rho});
  • x é a distância ao longo da placa;
  • U_\infty é a velocidade do escoamento livre longe da placa.
  • Observação didática: a forma \delta\propto x/\sqrt{\mathrm{Re}_x} surge por argumentos de escala na equação de Navier–Stokes reduzida (balanço entre termos convectivos e viscosos na camada-limite). A constante numérica ( \approx 5) vem da solução detalhada de Blasius e corresponde a \delta_{99}. Existem outras definições de espessura (por exemplo \delta_{90} com constante diferente), mas a acima é a mais usada em problemas de prova.

Passo 3

Calcular a viscosidade cinemática \nu da água e explicar o significado.
  • Definição: \nu = \dfrac{\mu}{\rho}. Aqui \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s) e \rho é a densidade (kg/m^3). O resultado tem unidade \mathrm{m^2/s} e mede a difusividade de momento do fluido.
  • Cálculo com os dados:
\nu = \dfrac{\mu}{\rho} = \dfrac{1{,}0\times 10^{-3}}{1000} = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Verificar o regime do escoamento (laminar ou turbulento) usando o número de Reynolds local \mathrm{Re}_x. Isso justifica o uso da fórmula de Blasius.
  • Definição: \mathrm{Re}_x = \dfrac{U_\infty\,x}{\nu}. É adimensional e indica se a camada limite tende a permanecer laminar (valores baixos) ou a transitar para turbulento (valores grandes). Um valor de referência para transição numa placa plana é aproximadamente \mathrm{Re}_x \approx 5\times 10^{5} (valor aproximado, depende de rugosidade e perturbações).
  • Cálculo numérico:
\mathrm{Re}_x = \dfrac{U_\infty\,x}{\nu} = \dfrac{0{,}3\cdot 0{,}30}{1{,}0\times 10^{-6}} = \dfrac{0{,}09}{1{,}0\times 10^{-6}} = 9{,}0\times 10^{4}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}_x = 9{,}0\times 10^{4} é bem menor que 5\times 10^{5}, portanto a camada limite ainda está em regime laminar no bordo de fuga (em x=0,30\\ \mathrm{m}). Logo o uso da expressão de Blasius é apropriado.

Passo 5

Aplicar a fórmula e calcular \delta passo a passo.
  • Usando
\delta(x) \approx 5\,\sqrt{\dfrac{\nu\,x}{U_\infty}},
substituindo os valores que já calculamos/temos ( \nu=1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, x=0{,}30\\ \mathrm{m}, U_\infty=0{,}3\\ \mathrm{m/s}):
\dfrac{\nu\,x}{U_\infty} = \dfrac{1{,}0\times 10^{-6}\cdot 0{,}30}{0{,}3} = 1{,}0\times 10^{-6}.
  • Agora a raiz quadrada:
\sqrt{1{,}0\times 10^{-6}} = 1{,}0\times 10^{-3}.
  • Multiplicando pela constante 5:
\delta(0{,}30) \approx 5 \times 1{,}0\times 10^{-3} = 5{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros (útil para intuição): 5{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 5\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação final e nota prática (estímulo).
  • Resultado: a espessura da camada limite no bordo de fuga é pequena — cerca de 5\\ \mathrm{mm}. Isso faz sentido físico: mesmo com velocidade baixa, a água tem viscosidade cinemática muito pequena, então a camada de mistura perto da placa é fina.
  • Lembrete importante para prova: sempre verifique \mathrm{Re}_x antes de usar a fórmula de Blasius; se \mathrm{Re}_x fosse maior que a ordem de 5\times 10^{5}, seria preciso considerar transição e talvez usar correções para camada-limite turbulenta.
  • Força aí — você já tem um procedimento claro: calcular \nu, checar \mathrm{Re}_x, usar a fórmula adequada e interpretar o resultado. Vai dar certo na prova.

Resposta

\delta(0{,}30\\ \mathrm{m}) = 5{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 5\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados