Considere o escoamento paralelo de um fluido a 0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma placa plana larga, com 30 cm de comprimento. Dados: \rho_{\mathrm{ar}}=1,204 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu_{\mathrm{ar}}=1,825 \times 10^{-5} Pa.s; \rho_{\text {água }}= 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á e \mu_{\text {água }}=1 \times 10^{-3}á Pa.s.
Calcule a espessura \delta da camada limite, no bordo de fuga, sendo o fluido ar

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo pegado do enunciado).
  • Velocidade do escoamento paralelo: U=0,3\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento da placa (distância até o bordo de fuga onde queremos a espessura): x=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Propriedades do ar (usar porque o problema diz “sendo o fluido ar”):
    • Densidade: \rho_{\text{ar}}=1,204\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu_{\text{ar}}=1,825\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Também foram dadas propriedades da água, mas não serão usadas aqui porque o fluido é o ar.
  • O que nos pedem: calcular a espessura \delta da camada limite no bordo de fuga (isto é, em x=0,30\\ \mathrm{m}) para o caso do fluido ar.

Passo 2

Explicação do conceito e da fórmula usada (aula rápida e prática).
  • O número de Reynolds local para uma placa plana é
\mathrm{Re}_x=\frac{\rho\,U\,x}{\mu},
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • U é a velocidade livre do escoamento ( \mathrm{m/s}),
  • x é a distância desde a borda de ataque até o ponto considerado ( \mathrm{m}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s}).
  • Para escoamento laminar sobre placa plana semi-infinita a solução de Blasius fornece uma expressão prática para a espessura da camada limite (definida comumente como \delta_{99}, a distância da placa onde a velocidade atinge 99\% de U):
\delta \equiv \delta_{99} \approx \frac{5{,}0\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
Comentário sobre a fórmula: ela vem da solução de Blasius para a camada limite laminar; o fator numérico 5{,}0 é uma aproximação empírica extraída da solução (algumas referências usam 4{,}9 ou 5{,}2, a diferença é pequena). Vou usar 5{,}0 porque é a forma clássica e simples para \delta_{99}.

Passo 3

Calcular \mathrm{Re}_x no bordo de fuga ( x=0,30\\ \mathrm{m}).
  • Primeiro calculo o produto \rho\,U\,x:
\rho_{\text{ar}}\,U\,x = 1{,}204 \times 0{,}3 \times 0{,}30.
  • Fazer as contas passo a passo:
    • 0{,}3\times0{,}30 = 0{,}09.
    • 1{,}204\times0{,}09 = 0{,}10836.
  • Agora \mathrm{Re}_x:
\mathrm{Re}_x=\frac{0{,}10836}{1{,}825\times10^{-5}}.
  • Dividindo:
\mathrm{Re}_x \approx 5938{,}08 \approx 5{,}94\times10^{3}.

Passo 4

Verificar o regime (laminar ou turbulento) e justificar o uso da fórmula de Blasius.
  • Regra prática: o escoamento sobre placa tende a permanecer laminar até valores de \mathrm{Re}_x da ordem de 10^{5} (transição em torno de 3\times10^{5} a 5\times10^{5} dependendo das condições). Aqui \mathrm{Re}_x\approx5{,}94\times10^{3}, muito menor que 10^{5}, portanto o escoamento é laminar e a fórmula de Blasius é aplicável.

Passo 5

Calcular a espessura \delta usando a fórmula de Blasius.
  • Primeiro calculo a raiz quadrada de \mathrm{Re}_x:
\sqrt{\mathrm{Re}_x}=\sqrt{5938{,}08}\approx77{,}07.
  • Agora aplico
\delta \approx \frac{5{,}0\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}=\frac{5{,}0\times0{,}30}{77{,}07}.
  • Calculo numérico:
    • 5{,}0\times0{,}30=1{,}5.
    • \delta \approx \frac{1{,}5}{77{,}07}\approx0{,}01948\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros (para intuição):
0{,}01948\\ \mathrm{m}=1{,}948\\ \mathrm{cm}\approx1{,}95\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Interpretação curta e dica para prova.
  • Resultado obtido \delta\approx0{,}0195\\ \mathrm{m} significa que, ao longo de uma placa de 30\\ \mathrm{cm} com ar a 0{,}3\\ \mathrm{m/s}, a camada limite laminar tem cerca de 2\\ \mathrm{cm} de espessura na borda de fuga — isso é razoável para baixas velocidades.
  • Dica prática para prova: calcule sempre \mathrm{Re}_x primeiro para justificar laminaridade; memorize as expressões úteis da camada limite laminar: \theta\approx0{,}664\,x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}, \delta\approx5{,}0\,x/\sqrt{\mathrm{Re}_x} (para \delta_{99}).

Resposta

\delta \approx 0{,}0195\\ \mathrm{m} \;=\; 1{,}95\\ \mathrm{cm}

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