Questāo 3 (2 pts.) Q. Z.

Determine a espessura da subcamada viscosa ( y^{\prime} \approx 5 ) e a correspondente velocidade do fluido ( u_{t} ) nesse ponto, para um escoumento plenamente desenvolvido de água ( \mu=1 \mathrm{e}-3 \mathrm{~Pa} \mathrm{~s} ; \mathrm{p}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), em um duto de 50 mm de diămetro com vazio mássica de 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A partir do “perfil universal” avalie também a velocidade em r/R=0, e 0,7 .
Responda: Qual seria o valor “pico máximo” da rugosidade para ser considerado “tubo liso”? Explique.
O fator do atrito pode ser calculado como,
\begin{gathered} f=\frac{0.316}{R e^{0.25}} \\\ y^{*}=\frac{\rho y u^{*}}{\mu} ; u^{*}=\sqrt{\tau_{w} / \rho} ; u^{+}=\frac{u}{u^{*}} \end{gathered}
O perfil universal pode ser aproximado por:
u^{+}=y^{+} \text {para } y^{+}<5 ; u^{+}=2.5 \ln \left(y^{+}\right)+5.0 ; y^{+}>5

Passo 1

O enunciado pede basicamente três coisas e fornece os seguintes dados:
  • Objetivos:
    1. Determinar a espessura da subcamada viscosa onde y^{+}\approx5 (ou seja, achar y em metros).
    2. Determinar a velocidade do fluido nesse ponto (chamarei de u_{t}).
    3. A partir do perfil universal, avaliar a velocidade em r/R=0 (eixo, centro do tubo) e em r/R=0{,}7.
    4. Responder: qual o valor pico máximo da rugosidade para ainda considerar o tubo “liso” e explicar por quê.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • viscosidade dinâmica: \mu=1{\times}10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
    • densidade: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    • diâmetro do duto: D=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m} (logo raio R=D/2=0{,}025\\ \mathrm{m}),
    • vazão mássica: \dot{m}=40\\ \mathrm{kg/s}.
  • Fórmulas fornecidas e úteis: f=\frac{0{,}316}{Re^{0{,}25}},\qquad y^{+}=\frac{\rho\,y\,u^{*}}{\mu},\qquad u^{*}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}},\qquad u^{+}=\frac{u}{u^{*}}.Relação parede-tensão: \tau_{w}=\dfrac{f\,\rho\,U_{m}^{2}}{8} (para escoamento em tubo, U_{m} = velocidade média).
  • Perfil universal aproximado: u^{+}=y^{+}\quad\text{para }y^{+}<5;\qquad u^{+}=2{,}5\ln(y^{+})+5{,}0\quad\text{para }y^{+}>5.

Passo 2

Primeiro preciso da velocidade média U_{m} a partir da vazão mássica \dot{m}. A área da seção é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}05)^{2}}{4}.
Calculo numérico:
A=\pi\cdot0{,}0025/4=\pi\cdot0{,}000625\approx0{,}0019635\\ \mathrm{m^{2}}.
A velocidade média é
U_{m}=\frac{\dot{m}}{\rho A}=\frac{40}{1000\cdot0{,}0019635}\approx20{,}38\\ \mathrm{m/s}.
Comentário curto e encorajador: essa é a velocidade média no tubo; vamos usar ela para calcular Reynolds e atrito na parede.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds:
Re=\frac{\rho U_{m} D}{\mu}=\frac{1000\cdot20{,}38\cdot0{,}05}{1\times10^{-3}}.
Numérico:
Re\approx\frac{1000\cdot1{,}019}{1\times10^{-3}}=1{,}019\times10^{6}\approx1{,}02\times10^{6}.
Esse Re é grande (escoamento fortemente turbulento), então a fórmula empírica dada para f é aplicável.

Passo 4

Usar a fórmula do atrito para obter f:
f=\frac{0{,}316}{Re^{0{,}25}}.
Calculo:
Re^{0{,}25}=(1{,}019\times10^{6})^{0{,}25}\approx31{,}78, \qquad f\approx\frac{0{,}316}{31{,}78}\approx0{,}00994.
Interpretação: f é o fator de atrito de Darcy (adimensional) que relaciona perda de carga e velocidade.

Passo 5

Calcular a tensão na parede \tau_{w} e a velocidade de atrito u^{*}.
\tau_{w}=\frac{f\,\rho\,U_{m}^{2}}{8}.
Numérico:
U_{m}^{2}\approx(20{,}38)^{2}\approx415{,}4,
\tau_{w}\approx\frac{0{,}00994\cdot1000\cdot415{,}4}{8}\approx516{,}2\\ \mathrm{Pa}.
Agora
u^{*}=\sqrt{\frac{\tau_{w}}{\rho}}=\sqrt{\frac{516{,}2}{1000}}\approx0{,}7186\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: u^{*} é a velocidade de fricção; é a velocidade escala usada nas leis próximas à parede.

Passo 6

A definição da coordenada adimensional y^{+} é
y^{+}=\frac{\rho\,y\,u^{*}}{\mu}.
Queremos o y físico correspondente a y^{+}=5. Invertendo:
y=\frac{y^{+}\,\mu}{\rho\,u^{*}}.
Substituindo números:
y=\frac{5\cdot(1\times10^{-3})}{1000\cdot0{,}7186}=\frac{5\times10^{-3}}{718{,}6}\approx6{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Ou seja, a espessura da subcamada viscosa onde y^{+}\approx5 é aproximadamente 6{,}96\\ \mu\mathrm{m} (micro‑metros). Breve nota motivacional: é uma camada muito fina — por isso a rugosidade deve ser bem pequena para não romper o comportamento “liso”.

Passo 7

Velocidade do fluido no ponto onde y^{+}=5. Como y^{+}=5 está na região linear ( y^{+}<5 fórmula u^{+}=y^{+}), usamos
u^{+}=y^{+}=5.
Portanto
u_{t}=u=u^{+}\,u^{*}=5\cdot0{,}7186\approx3{,}593\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: à distância de \approx7\\ \mu\mathrm{m} da parede, a velocidade já é várias vezes menor que a média; é um gradiente forte perto da parede.

Passo 8

Velocidade no centro do tubo ( r/R=0). Aqui a distância a partir da parede é y=R. Calcular y^{+} no centro:
y_{\text{centro}}^{+}=\frac{\rho\,R\,u^{*}}{\mu}=\frac{1000\cdot0{,}025\cdot0{,}7186}{1\times10^{-3}}\approx1{,}7965\times10^{4}.
Como y^{+}\gg5, usamos o perfil logarítmico
u^{+}=2{,}5\ln(y^{+})+5{,}0.
Calculemos:
\ln(1{,}7965\times10^{4})\approx9{,}7953,
u^{+}\approx2{,}5\cdot9{,}7953+5\approx29{,}49.
Logo a velocidade no centro é
u_{\text{centro}}=u^{+}\,u^{*}\approx29{,}49\cdot0{,}7186\approx21{,}18\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida: faz sentido ser maior que U_{m}\approx20{,}38\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Velocidade em r/R=0{,}7. Primeiro a posição radial: r=0{,}7R=0{,}7\cdot0{,}025=0{,}0175\\ \mathrm{m}. Distância à parede:
y=R-r=0{,}025-0{,}0175=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
Calcular y^{+}:
y^{+}=\frac{1000\cdot0{,}0075\cdot0{,}7186}{1\times10^{-3}}\approx5{,}3895\times10^{3}.
Usar lei logarítmica (porque y^{+}\gg5):
u^{+}=2{,}5\ln(5{,}3895\times10^{3})+5.
Numérico:
\ln(5{,}3895\times10^{3})\approx8{,}5918,
u^{+}\approx2{,}5\cdot8{,}5918+5\approx26{,}48,
u(r/R=0{,}7)=u^{+}\,u^{*}\approx26{,}48\cdot0{,}7186\approx19{,}03\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Determinar o valor pico máximo da rugosidade para considerar o tubo “liso” e explicar. Conceito físico: o tubo é considerado hidraulicamente liso se a altura característica das asperezas k_{s} ficar imersa na subcamada viscosa. Em unidades adimensionais usa‑se k_{s}^{+}=\dfrac{\rho\,k_{s}\,u^{*}}{\mu}=\dfrac{k_{s}\,u^{*}}{\nu}. Critério prático comum: se k_{s}^{+}\lesssim5 (ou seja, comparável a y^{+} da subcamada viscosa), as irregularidades não rompem o perfil logarítmico e o comportamento é de tubo liso. Assim, o pico máximo k_{s,\max} que ainda pode ser considerado liso é
k_{s,\max}\approx5\frac{\nu}{u^{*}},
onde \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}. Numérico:
k_{s,\max}\approx5\cdot\frac{1\times10^{-6}}{0{,}7186}\approx6{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\approx6{,}96\\ \mu\mathrm{m}.
Explicação curta e direta: se as asperezas têm altura pico menor que cerca de 7\\ \mu\mathrm{m} (neste caso), elas ficam “embaixo” da subcamada viscosa e não influenciam o atrito de forma devida — portanto o tubo pode ser tratado como liso. Se k_{s} for significativamente maior que esse valor, a rugosidade será percepcível (escoamento rugoso).

Passo 11

Resumo final dos resultados numéricos (arredondados adequadamente) e um comentário final de incentivo: ficou tudo calculado passo a passo; você pode repetir os passos com outros dados se precisar — superei o pânico e seguimos rumo à prova! Boa sorte!

Resposta

Espessura da subcamada viscosa (para y^{+}=5): y\approx6{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{m} \approx6{,}96\\ \mu\mathrm{m}
Velocidade no ponto y^{+}=5 ( u_{t} ): u_{t}\approx3{,}59\\ \mathrm{m/s}
Velocidade no centro ( r/R=0): u_{\text{centro}}\approx21{,}18\\ \mathrm{m/s}
Velocidade em r/R=0{,}7: u\approx19{,}03\\ \mathrm{m/s}
Valor pico máximo da rugosidade para ser considerado tubo liso: k_{s,\max}\approx6{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\approx6{,}96\\ \mu\mathrm{m}

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