Mostre que se
é limitada e
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que a sequência
é limitada e que
. Queremos mostrar que
Para isso, vamos usar a definição de sequência limitada e a definição de limite infinito, além da álgebra de limites.
Passo 2
Como
é limitada, existe uma constante
tal que, para todo
,
Então podemos escrever
Passo 3
Como
limntoinftyyn=infty , para qualquer
L>0 existe
N tal que, para todo
n>= N , temos
Dado
varepsilon>0 , escolha
L = tfracMvarepsilon . Então existe
N tal que, para
n>= N ,
Passo 4
Para
n>= N , combinando os resultados anteriores:
Isso mostra, pela definição de limite, que