15^circ) Mostre que se (xn-yn) é limitada e lim yn=infty, então lim xnyn=1.

Passo 1

O enunciado diz que a sequência l(xn-ynr) é limitada e que limntoinftyyn=infty. Queremos mostrar que
limntoinftyxnyn=1
Para isso, vamos usar a definição de sequência limitada e a definição de limite infinito, além da álgebra de limites.

Passo 2

Como l(xn-ynr) é limitada, existe uma constante M>0 tal que, para todo n,
l|xn-ynr|<= M
Então podemos escrever
|xnyn-1| =|xn-ynyn| <= Ml|ynr|

Passo 3

Como limntoinftyyn=infty, para qualquer L>0 existe N tal que, para todo n>= N, temos
l|ynr|>L
Dado varepsilon>0, escolha L = tfracMvarepsilon. Então existe N tal que, para n>= N,
l|ynr|> Mvarepsilon Longrightarrow Ml|ynr|<varepsilon

Passo 4

Para n>= N, combinando os resultados anteriores:
|xnyn-1|<= Ml|ynr|<varepsilon
Isso mostra, pela definição de limite, que
limntoinftyxnyn=1

Resposta

limntoinftyxnyn=1.

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