Exercício 2. Sendo A(1,-2), B(2,1), C(3,2), D(-2,3) decompor os vetores BD e AD+DC tomando como base os vetores AB e AC:

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,-2), B(2,1), C(3,2) e D(-2,3) e pede para decompor os vetores BD e AD+DC na base formada por AB e AC.
O conteúdo é combinação linear de vetores em R^2. Vamos
  1. calcular AB e AC,
  2. expressar BD como p,AB+q,AC e resolver o sistema para p,q,
  3. calcular AD+DC, expressá-lo como r,AB+s,AC e resolver o sistema para r,s.

Passo 2

Para achar a base, calculamos
AB = B - A = (2-1,;1-(-2)) = (1,3)
e
AC = C - A = (3-1,;2-(-2)) = (2,4).

Passo 3

Primeiro BD = D - B = (-2-2,;3-1) = (-4,2).
Queremos p,q tais que
BD = p,AB + q,AC,
isto é
(-4,2) = p,(1,3) + q,(2,4) = (p+2q,;3p+4q)
Igualando componentes obtemos o sistema
p + 2q = -4 e 3p + 4q = 2.
Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda vem
2q = -14, logo q = -7;
então p = -4 - 2q = -4 - 2(-7) = 10.
Assim
BD = 10,AB - 7,AC

Passo 4

Calculamos
AD = D - A = (-2-1,;3-(-2)) = (-3,5)
e
DC = C - D = (3-(-2),;2-3) = (5,-1).
Logo
AD + DC = (-3+5,;5-1) = (2,4)
Para decompor em AB e AC buscamos r,s tais que
(2,4) = r,(1,3) + s,(2,4) = (r+2s,;3r+4s)
Isso gera r + 2s = 2 e 3r + 4s = 4. Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda vem 2s = 2, logo s = 1 e r = 0.
Portanto
AD + DC = 0,AB + 1,AC = AC

Resposta

BD = 10,AB - 7,AC
AD + DC = AC

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