) Mostre que se uma sequência
possui uma subsequência limitada
, então
é limitada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se toda subsequência de
é limitada, então a própria sequência
é limitada. O conteúdo principal é a definição de sequência limitada e o uso da técnica de prova por contraposição. Vamos então definir o que é ser limitada e aplicar contraposição.
Passo 2
Definição de sequência limitada: dizemos que
é limitada se existe
tal que
para todo
.
Passo 3
Em vez de provar diretamente “toda subsequência limitada
sequência limitada”, usamos a contraposição:
Depois, a contrapositiva dessa implicação nos dá exatamente o que queremos.
Passo 4
Suponha que
não seja limitada. Então, por definição, para cada
vale:
Podemos escolher esses índices de modo estritamente crescente, isto é,
. Assim obtemos uma subsequência
.
Passo 5
Essa subsequência satisfaz
para todo
. Como
faz
, concluímos que
não é limitada.
Passo 6
Portanto mostramos que “se
não é limitada, então existe subsequência não limitada”. A contrapositiva dessa frase é:
“se toda subsequência é limitada, então é limitada”, que é justamente o enunciado que queríamos provar.
“se toda subsequência é limitada, então
Resposta
Fica provado que se todas as subsequências de
são limitadas, então
é limitada.