1^circ ) Mostre que se uma sequência (xn) possui uma subsequência limitada (xn k), então (xn) é limitada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se toda subsequência de (xn) é limitada, então a própria sequência (xn) é limitada. O conteúdo principal é a definição de sequência limitada e o uso da técnica de prova por contraposição. Vamos então definir o que é ser limitada e aplicar contraposição.

Passo 2

Definição de sequência limitada: dizemos que (xn) é limitada se existe M>0 tal que
|xn|<= M
para todo ninN.

Passo 3

Em vez de provar diretamente “toda subsequência limitada implies sequência limitada”, usamos a contraposição:
l((xn) não é limitadar);Longrightarrow;l(exists subsequência não limitadar) ãéêã
Depois, a contrapositiva dessa implicação nos dá exatamente o que queremos.

Passo 4

Suponha que (xn) não seja limitada. Então, por definição, para cada kinN vale:
exists,nkinNtal que |xnk|>k
Podemos escolher esses índices de modo estritamente crescente, isto é, n1<n2<n3<cdots. Assim obtemos uma subsequência
l(xnkr)k=1^infty.

Passo 5

Essa subsequência satisfaz
|xnk|>k
para todo k. Como ktoinfty faz |xnk|toinfty, concluímos que l(xnkr) não é limitada.

Passo 6

Portanto mostramos que “se (xn) não é limitada, então existe subsequência não limitada”. A contrapositiva dessa frase é:
“se toda subsequência é limitada, então (xn) é limitada”, que é justamente o enunciado que queríamos provar.

Resposta

Fica provado que se todas as subsequências de (xn) são limitadas, então (xn) é limitada.

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