6.15 Os componentes do vetor velocidade de um escoamento plano e incompressível são dados por
& vr=A r^-1+B r^-2 cos theta & vtheta=B r^-2 sen theta
onde A e B são constantes. Determine a função corrente deste escoamento.

Passo 1

O enunciado dá as componentes de velocidade em coordenadas polares para um escoamento plano e incompressível:
vr=A,r^-1+B,r^-2costheta, vtheta=B,r^-2sintheta,
e pede a função corrente psi(r,theta). Para isso, vamos usar as relações entre (vr,vtheta) e psi em coordenadas polares:
vr=1r,partialpsipartialtheta, vtheta=-partialpsipartial r

Passo 2

Usando a primeira relação, escrevemos
partialpsipartialtheta = r,vr = rl(A,r^-1+B,r^-2costhetar) = A + B,r^-1costheta
Integrando em theta, obtemos
psi(r,theta) = integrall(A + B,r^-1costhetar),dtheta = A,theta + B,r^-1sintheta + f(r),
onde f(r) é uma função arbitrária de r.

Passo 3

Agora usamos a segunda relação:
vtheta = -partialpsipartial r = -partialpartial rl(A,theta + B,r^-1sintheta + f(r)r) = -l(-B,r^-2sintheta + f'(r)r) = B,r^-2sintheta - f'(r)
Comparando com o vtheta dado, vemos que
B,r^-2sintheta - f'(r) = B,r^-2sintheta Longrightarrow f'(r)=0
Logo, f(r) é constante.

Passo 4

Podemos escolher a constante igual a zero (ela só desloca psi sem alterar as linhas de corrente). Assim a função corrente fica
psi(r,theta) = A,theta + Br,sintheta

Resposta

psi(r,theta)=A,theta+Brsintheta

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