6.6 Um escoamento unidimensional é descrito por
& u=a y+b y^2 & v=w=0
onde a e b são constantes. Este escoamento é irrotacional? Qual é a combinação das constantes que propicia uma taxa de deformaçāo angular, Eq. 6.18, nula?

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades unidimensional
u = a,y + b,y^2, v = 0, w = 0,
onde a e b são constantes.
Queremos (i) verificar se o escoamento é irrotacional (isto é, se a vorticidade boldsymbolomega=nablatimes v é zero) e
(ii) achar a combinação de a e b que torne nula a taxa de deformação angular Omegaz dada pela Eq. 6.18.

Passo 2

Para verificar a irrotacionalidade usamos
em coordenadas cartesianas, cujos componentes são
Como e , restam apenas

Passo 3

Calculamos
Logo
Para que o escoamento seja irrotacional precisamos , ou seja
Isto só ocorre se
caso em que na verdade não há escoamento (velocidade zero).

Passo 4

A Eq. 6.18 define a taxa de deformação angular (componente ) por
Para ter basta
Isto dá, para um dado nível ,
Se a ideia for anular em todos os pontos , novamente só cabe a solução trivial .

Resposta

(i) O escoamento é rotacional, pois omegaz=-(a+2,b,y)neq0 salvo no caso trivial a=b=0.
(ii) A taxa de deformação angular Omegaz anula-se quando
a + 2,b,y = 0 ;Longrightarrow; b = -a2,y
(em todos os y só com a=b=0).

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