(Interpretação Física) O resfriamento de um corpo é modelado pela lei de resfriamento de Newton:
\frac{d T}{d t}=-k\left(T-T_{a}\right)
onde T_{a}=20^{\circ} C é a temperatura ambiente e k=0,1 \mathrm{~min}^{-1}. Sabendo que T(0)=80^{\circ} C, determine a expressão de T(t) e o tempo necessário para que o corpo atinja 40^{\circ} C.
Passo 1
O enunciado dá a lei de resfriamento de Newton
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_{a}\bigr),
com T_{a}=20^{\circ}C, k=0,1\\ \mathrm{min}^{-1} e condição inicial T(0)=80^{\circ}C. Pede-se: (1) determinar a expressão T(t) para a temperatura em função do tempo e (2) o tempo necessário para T(t) atingir 40^{\circ}C.
Passo 2
Vamos olhar para a equação diferencial e compreender cada símbolo: T é a temperatura do corpo (em {}^{\circ}C), t é o tempo (em minutos), T_{a} é a temperatura ambiente (20^{\circ}C), e k é uma constante positiva que mede a rapidez do resfriamento (0,1\\ \mathrm{min}^{-1}). A equação dada relaciona a taxa de variação da temperatura com a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente. Ela é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida por separação de variáveis porque as variáveis T e t aparecem multiplicativamente.
Passo 3
Fazendo separação de variáveis: escrevemos os termos com T de um lado e com t do outro.
\frac{dT}{T-T_{a}}=-k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é logarítmica e a do lado direito é linear em t. Integramos indefinidamente:
\int \frac{dT}{T-T_{a}}=\int -k\,dt.
As integrais dão
\ln\bigl|T-T_{a}\bigr|=-k t + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usamos a propriedade de que \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.
Passo 4
Elevamos exponencial para eliminar o logaritmo. Assim
\bigl|T-T_{a}\bigr|=e^{C}e^{-k t}.
Como e^{C} é uma constante positiva, chamamos A=e^{C}>0 e retiramos o valor absoluto lembrando que, fisicamente, no nosso caso inicial T(0)=80^{\circ}C e T_{a}=20^{\circ}C implica T-T_{a}>0 inicialmente, então podemos escrever sem o valor absoluto:
T-T_{a}=A e^{-k t}.
Logo a solução geral é
T(t)=T_{a}+A e^{-k t}.
Passo 5
Usamos a condição inicial T(0)=80^{\circ}C para determinar A. Substituindo t=0:
80=T_{a}+A e^{0}=T_{a}+A.
Como T_{a}=20, temos
A=80-20=60.
Portanto a solução particular do problema é
T(t)=20+60\,e^{-k t}.
Substituindo k=0,1\\ \mathrm{min}^{-1} (atenção ao uso da vírgula decimal),
T(t)=20+60\,e^{-0,1 t}\quad\bigl(^{\circ}C\bigr).
Interpretação física rápida: a diferença T(t)-T_{a} diminui exponencialmente com constante de decaimento k.
Passo 6
Agora determinamos o tempo t tal que T(t)=40^{\circ}C. Igualamos e resolvemos: