Seja 
  o espaço vetorial das funções reais de variável real. Mostre que são subespaço de 
 .
b) 
 
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto 
  é um subespaço do espaço vetorial 
 . Isso está dentro do estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, a gente precisa verificar se 
  satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor nulo, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de objetos (no caso, funções) que podem ser somados entre si e multiplicados por números (escalars), seguindo certas regras. Um subespaço é simplesmente um conjunto dentro desse espaço que também é um espaço vetorial por si só.
Passo 3
A primeira condição que precisamos verificar é se 
  contém o vetor nulo. No contexto de funções, o vetor nulo é a função que atribui zero para todo 
 . Vamos verificar:
Se 
  para todo 
 , então 
 . Logo, a função nula está em 
 .
Passo 4
Agora, vamos ver se 
  é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos duas funções 
  e 
  em 
 , então 
  também deve estar em 
 .
Se 
  e 
 , então:
Então, 
  também satisfaz a condição de 
 , ou seja, 
  é fechado sob adição.
Passo 5
Por fim, vamos verificar se 
  é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se 
  está em 
  e 
  é um número real, então 
  também deve estar em 
 .
Se 
 , então:
Portanto, 
  também satisfaz a condição de 
 , ou seja, 
  é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como 
  contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que 
  é um subespaço de 
 .