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Sejam 
  e 
  dois subespaços de 
 . Mostre que a união desses dois subespaços não é um subespaço vetorial.
Sejam
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos no plano 
 :
- 
: todos os vetores que estão no eixo .  - 
: todos os vetores que estão no eixo .  
O conteúdo que vamos usar aqui é o de subespaços vetoriais. Um subespaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Queremos mostrar que a união desses dois conjuntos, 
 , não é um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer:
- Contém o vetor zero: Sim, tanto 
quanto contêm o vetor .  - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
 - Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
 
Vamos verificar se 
  satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos examinar a propriedade de fechadura para adição. Pegue um vetor de 
 , por exemplo, 
 , e um vetor de 
 , por exemplo, 
 . Agora, vamos somá-los:
O vetor resultante é 
 . Agora, vamos verificar se 
  está em 
 :
- Em 
? Não, porque para estar em o segundo componente deve ser , mas aqui é .  - Em 
? Não, porque para estar em o primeiro componente deve ser , mas aqui é .  
Como 
  não está nem em 
  nem em 
 , isso significa que a união 
  não está fechada para adição.
Resposta
Portanto, a união de 
  e 
  não é um subespaço vetorial de 
  porque não satisfaz a propriedade de fechadura para adição.