1.15 Considere um sistema
com entrada
e saída
. Esse sistema é obtido por uma interconexão série de um sistema
seguido por um sistema
. As relaçōes entrada-saída para
e
são
em que
e
representam sinais de entrada.
(a) Determine a relação entrada-saída para o sistema
.
(b) A relação entrada-saída do sistema
muda se a ordem de conexão em série de
e
for invertida (isto é, se
vier depois de
)?
(a) Determine a relação entrada-saída para o sistema
(b) A relação entrada-saída do sistema
Passo 1
O enunciado dá um sistema em série
composto por
seguido de
. Em
a relação entrada–saída é
e em
é
Queremos (a) achar a relação geral
em função de
e (b) verificar se ela muda se invertermos a ordem dos sistemas. Como ambos são LTI, vamos usar a ideia de resposta ao impulso e convolução.
Passo 2
Identificamos as respostas ao impulso de cada sistema:
é tal que
e comparando com
obtemos
Analogamente, de
segue
Passo 3
Como a cascata de sistemas LTI equivale à convolução de suas respostas ao impulso, a resposta total é
Mas podemos usar atraso e soma diretamente:
Logo, a saída é
Passo 4
Se invertermos a ordem (primeiro
, depois
), a resposta total seria
. Pela comutatividade da convolução de LTI,
logo obtemos exatamente o mesmo
e, portanto, a mesma relação entrada–saída.
Resposta
(a)
(b) Não, a relação não muda, pois a convolução de respostas ao impulso é comutativa.
(b) Não, a relação não muda, pois a convolução de respostas ao impulso é comutativa.