1.15 Considere um sistema S com entrada x[n] e saída y[n]. Esse sistema é obtido por uma interconexão série de um sistema S_{1} seguido por um sistema S_{2}. As relaçōes entrada-saída para S_{1} e S_{2} são
\begin{array}{ll} S_{1}: & y_{1}[n]=2 x_{1}[n]+4 x_{1}[n-1], \\\ S_{2}: & y_{2}[n]=x_{2}[n-2]+\frac{1}{2} x_{2}[n-3], \end{array}
em que x_{1}[n] e x_{2}[n] representam sinais de entrada.
(a) Determine a relação entrada-saída para o sistema S.
(b) A relação entrada-saída do sistema S muda se a ordem de conexão em série de S_{1} e S_{2} for invertida (isto é, se S_{2} vier depois de S_{1} )?

Passo 1

O enunciado dá um sistema em série S composto por S_{1} seguido de S_{2}. Em S_{1} a relação entrada–saída é
y_{1}[n]=2\,x_{1}[n]+4\,x_{1}[n-1],
e em S_{2} é
y_{2}[n]=x_{2}[n-2]+\tfrac12\,x_{2}[n-3].
Queremos (a) achar a relação geral y[n] em função de x[n] e (b) verificar se ela muda se invertermos a ordem dos sistemas. Como ambos são LTI, vamos usar a ideia de resposta ao impulso e convolução.

Passo 2

Identificamos as respostas ao impulso de cada sistema: \displaystyle h_{1}[n] é tal que
y_{1}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_{1}[k]\,x[n-k]
e comparando com y_{1}[n]=2\,x[n]+4\,x[n-1] obtemos
h_{1}[n]=2\,\delta[n]+4\,\delta[n-1].
Analogamente, de y_{2}[n]=x[n-2]+\tfrac12\,x[n-3] segue
h_{2}[n]=\delta[n-2]+\tfrac12\,\delta[n-3].

Passo 3

Como a cascata de sistemas LTI equivale à convolução de suas respostas ao impulso, a resposta total é
h[n]=(h_{1}*h_{2})[n] =\sum_{k}h_{1}[k]\,h_{2}[n-k].
Mas podemos usar atraso e soma diretamente:
h[n]=h_{1}[n-2]+\tfrac12\,h_{1}[n-3] =2\,\delta[n-2]+4\,\delta[n-3] +\!1\,\delta[n-3]+2\,\delta[n-4]
\phantom{h[n]}=2\,\delta[n-2]+5\,\delta[n-3]+2\,\delta[n-4].
Logo, a saída é
y[n]=(x*h)[n] =2\,x[n-2]+5\,x[n-3]+2\,x[n-4].

Passo 4

Se invertermos a ordem (primeiro S_{2}, depois S_{1}), a resposta total seria h_{2}*h_{1}. Pela comutatividade da convolução de LTI,
h_{2}*h_{1}=h_{1}*h_{2},
logo obtemos exatamente o mesmo h[n] e, portanto, a mesma relação entrada–saída.

Resposta

(a) \displaystyle y[n]=2\,x[n-2]+5\,x[n-3]+2\,x[n-4].
(b) Não, a relação não muda, pois a convolução de respostas ao impulso é comutativa.

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