Considere um sistema de tempo contínuo com entrada x(t) e saída y(t) relacionado por
y(t)=x(\operatorname{sen}(t)) .
0 sistema é linear?

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de tempo contínuo com entrada x(t) e saída
y(t)=x(\operatorname{sen}(t)).
Queremos saber se ele é linear, ou seja, se satisfaz o princípio da superposição (adi­tividade e homogeneidade).

Passo 2

Sejam duas entradas quaisquer x_1(t) e x_2(t), com saídas correspondentes
y_1(t)=x_1(\operatorname{sen}(t)) \quad\text{e}\quad y_2(t)=x_2(\operatorname{sen}(t)).
Considere então a combinação linear a\,x_1(t)+b\,x_2(t). A saída desse sinal é
S[a\,x_1 + b\,x_2](t) =(a\,x_1 + b\,x_2)\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr).

Passo 3

Usando a propriedade de avaliação de funções, temos
(a\,x_1 + b\,x_2)\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr) = a\,x_1\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr) + b\,x_2\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr) = a\,y_1(t) + b\,y_2(t).

Passo 4

Como para quaisquer escalares a,b vale
S[a\,x_1 + b\,x_2](t) = a\,y_1(t) + b\,y_2(t) = a\,S[x_1](t) + b\,S[x_2](t),
o sistema satisfaz superposição e, portanto, é linear.

Resposta

Sim, o sistema é linear.

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