Considere um sistema de tempo contínuo com entrada x(t) e saída y(t) relacionado por
y(t)=x(\operatorname{sen}(t)) .
0 sistema é causal?

Passo 1

O enunciado dá o sistema contínuo
y(t)=x\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr)
e pergunta se ele é causal. O conteúdo envolvido é a definição de causalidade: um sistema é causal se, para todo instante t_0, a saída y(t_0) depender apenas de valores de entrada x(\tau) com \tau\le t_0. Vamos verificar se \operatorname{sen}(t)\le t para todo t, pois y(t) depende de x avaliado em \tau=\operatorname{sen}(t).

Passo 2

A definição de causalidade diz que, para todo t, deve valer
\operatorname{sen}(t)\le t
para que o sistema não “olhe para o futuro” de x. Se encontrarmos algum t tal que \operatorname{sen}(t)>t, o sistema será não causal.

Passo 3

Considere a função
f(t)=\operatorname{sen}(t)-t.
Calculamos a derivada:
f'(t)=\cos(t)-1\le 0\quad\text{para todo \(t\)},
pois \cos(t)\le1. Logo f é decrescente. Como f(0)=0, para t<0 temos
f(t)>f(0)=0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{sen}(t)-t>0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{sen}(t)>t.
Isso mostra que, em instantes negativos t, o sistema usa x\bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr) com \operatorname{sen}(t)>t, ou seja, “olha para o futuro” da entrada.

Passo 4

Como existem instantes t (todos os t<0) em que \operatorname{sen}(t)>t, a saída y(t) depende de valores de x(\tau) com \tau>t. Portanto o sistema não satisfaz a definição de causalidade.

Resposta

Não. O sistema não é causal.

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