(15)Duas cargas positivas de valor
são mantidas fixas à distância
entre si. Uma carga negativa
é colocada no meio da linha que une as cargas
, de modo que a força sobre ela é nula.
(a)Mostre que se a carga
sofre um pequeno deslocamento
em uma direção (
) perpendicular à linha que une as cargas
, então sobre ela age uma força
que tende a trazê-la de volta à posição de equilíbrio
.(Sugestão: calcule a resultante
das forças sobre a carga
feitas pelas duas cargas
, quando a carga
está sobre a mediatriz a uma distância
da linha que contém as duas cargas
. Use o fato que
para simplificar a expressão da força resultante.
(a)Mostre que se a carga
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: temos duas cargas positivas iguais, cada uma de valor
, fixas a uma distância
uma da outra. No meio desse “segmento de reta” colocamos uma carga negativa
e, de início, ela fica em equilíbrio (a força resultante é zero). Aí a gente empurra essa carga
um pouquinho (distância
) numa direção perpendicular à reta que liga as duas cargas
. O objetivo é mostrar que ela sofre uma força restauradora proporcional a
, ou seja
Conteúdo/matéria: eletrostática (Lei de Coulomb e superposição de forças), aproximações para deslocamento pequeno (
), e derivada de uma força tipo mola (movimento harmônico).
Passo 2
Vamos colocar um sistema de coordenadas: as cargas
estão em
e
, e a carga
vai para
. Pela Lei de Coulomb, a magnitude da força que cada
faz em
é
onde
Cada força aponta da carga
em direção a
. Note que, por simetria, as componentes horizontais (na direção
→
) se cancelam, sobrando apenas componente vertical (direção
, pra baixo se
).
Passo 3
Vamos achar a componente na direção
. Primeiro, o ângulo
entre a linha de ação de
e o eixo horizontal satisfaz
Então a componente “vertical” (realmente é perpendicular à linha que une
–
) de cada força vale
Como são duas cargas
, a força total nessa direção é
E o sinal é negativo (ela puxa de volta para
), então
Passo 4
Agora usamos a aproximação
. Então
Substituindo em
:
Resposta
Portanto a força restauradora é da forma