(15)Duas cargas positivas de valor Q são mantidas fixas à distância d entre si. Uma carga negativa -q é colocada no meio da linha que une as cargas Q, de modo que a força sobre ela é nula.
(a)Mostre que se a carga -q sofre um pequeno deslocamento x em uma direção ( x ) perpendicular à linha que une as cargas Q, então sobre ela age uma força F=-k x x que tende a trazê-la de volta à posição de equilíbrio (x=0).(Sugestão: calcule a resultante (F) das forças sobre a carga -q feitas pelas duas cargas Q, quando a carga -q está sobre a mediatriz a uma distância x da linha que contém as duas cargas Q. Use o fato que x ll d para simplificar a expressão da força resultante.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: temos duas cargas positivas iguais, cada uma de valor F = -k,x,x , fixas a uma distância uma da outra. No meio desse “segmento de reta” colocamos uma carga negativa e, de início, ela fica em equilíbrio (a força resultante é zero). Aí a gente empurra essa carga um pouquinho (distância ) numa direção perpendicular à reta que liga as duas cargas . O objetivo é mostrar que ela sofre uma força restauradora proporcional a , ou seja
Conteúdo/matéria: eletrostática (Lei de Coulomb e superposição de forças), aproximações para deslocamento pequeno ( ), e derivada de uma força tipo mola (movimento harmônico).

Passo 2

Vamos colocar um sistema de coordenadas: as cargas F1 ;=;14pivarepsilon0,Q,qr^2, estão em r = raizl(tfrac d2r)^2 + x^2 e , e a carga vai para . Pela Lei de Coulomb, a magnitude da força que cada faz em é
onde
Cada força aponta da carga em direção a . Note que, por simetria, as componentes horizontais (na direção ) se cancelam, sobrando apenas componente vertical (direção , pra baixo se ).

Passo 3

Vamos achar a componente na direção sintheta = xr . Primeiro, o ângulo F1,x = F1,sintheta = 14pivarepsilon0,Q,qr^2;xr = 14pivarepsilon0,Q,qr^3;x entre a linha de ação de Fx = 2,F1,x = 2;14pivarepsilon0,Q,qr^3;x e o eixo horizontal satisfaz
F = -,2,14pivarepsilon0,Q,qr^3;x;x
Então a componente “vertical” (realmente é perpendicular à linha que une ) de cada força vale
Como são duas cargas , a força total nessa direção é
E o sinal é negativo (ela puxa de volta para ), então

Passo 4

Agora usamos a aproximação r = raizl(tfrac d2r)^2 + x^2 approx d2 Longrightarrow r^3 approx l(tfrac d2r)^3 = d^38 . Então
Fx approx -,2;14pivarepsilon0, Q,q(d/2)^3;x = -,2;14pivarepsilon0, Q,qd^3/8;x = -,164pivarepsilon0,Q,qd^3;x
Substituindo em :

Resposta

Portanto a força restauradora é da forma
boxedF = -,k,x,x, com k = 16,Q,q4pivarepsilon0,d^3

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