(16)A experiência de Millikan consistiu da observação cautelosa do movimento de gotículas de óleo previamente carregadas em dois regimes distintos: queda livre sujeita à gravidade e à viscosidade do ar dentro da câmara e movimennto contra a gravidade imposto por um campo elétrico. Suponha que a força de viscosidade é proporcional à velocidade (Fv=-b v).
(a)Estude o movimento de uma gotícula carregada com carga negativa de valor absoluto Q e massa m na ausência de campo elétrico e mostre que a velocidade atinge um valor limite (constante) dado por v1=m gb (nesse limite a aceleração é nula).

Passo 1

Então, o que a questão quer? A gente tem uma gotícula de óleo com massa m e carga negativa (mas, como não há campo elétrico, a carga não vai influenciar aqui). Ela cai no ar, sentindo duas forças:
  1. O peso para baixo, vec P = m,vec g.
  2. A força viscosa para cima, proporcional à velocidade, vec Fv = -,b,vec v,
    O objetivo é usar a 2ª lei de Newton e mostrar que, depois de um tempo, a gotícula atinge uma velocidade constante (chamamos de “velocidade limite”) dada por
    v1 = m,gb,
Para isso, vamos precisar de:
• Aplicar sumvec F = m,vec a no eixo vertical.
• Resolver uma equação diferencial de 1ª ordem simples: m,dvdt=mg - b,v.

Passo 2

Escrevendo a 2ª lei de Newton no sentido “para baixo é positivo” (tome isso só para simplificar):
• Peso para baixo: +m,g.
• Força viscosa para cima: -b,v.
Logo,
m,dvdt = m,g ;-; b,v,

Passo 3

Vamos rearranjar para isolar a derivada:
dvdt + bm,v = g,
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. O esquema pra resolver é achar solução geral da homogênea e depois uma particular.

Passo 4

  1. Homogênea: dvdt + bmv = 0Longrightarrow vh(t)=C,e^-bmt
    2) Particular: como o termo independe de t, a gente tenta vp= constante. Substituindo em dvdt=0, dá
    0 + bmvp = gLongrightarrow vp=m,gb,
  2. Solução geral:
v(t)=vh(t)+vp = C,e^-bmt ;+;m,gb,
Se a gotícula parte do repouso em t=0, ou seja v(0)=0, então
0 = C + m,gbLongrightarrow C = -m,gb,
Logo
v(t)=m,gbl(1 - e^-bmtr),

Passo 5

Para ttoinfty, o termo e^-b t/mto 0, sobram só
v1 = m,gb,
Esse é o valor limite, quando a aceleração vai a zero e a força de peso fica igualzinha à força viscosa.

Resposta

A velocidade limite (constante) da gotícula, na ausência de campo elétrico, é
boxedv1 = m,gb,

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