(16)A experiência de Millikan consistiu da observação cautelosa do movimento de gotículas de óleo previamente carregadas em dois regimes distintos: queda livre sujeita à gravidade e à viscosidade do ar dentro da câmara e movimennto contra a gravidade imposto por um campo elétrico. Suponha que a força de viscosidade é proporcional à velocidade
.
(a)Estude o movimento de uma gotícula carregada com carga negativa de valor absoluto
e massa
na ausência de campo elétrico e mostre que a velocidade atinge um valor limite (constante) dado por
(nesse limite a aceleração é nula).
(a)Estude o movimento de uma gotícula carregada com carga negativa de valor absoluto
Passo 1
Então, o que a questão quer? A gente tem uma gotícula de óleo com massa
e carga negativa (mas, como não há campo elétrico, a carga não vai influenciar aqui). Ela cai no ar, sentindo duas forças:
- O peso para baixo,
. - A força viscosa para cima, proporcional à velocidade,
O objetivo é usar a 2ª lei de Newton e mostrar que, depois de um tempo, a gotícula atinge uma velocidade constante (chamamos de “velocidade limite”) dada por
Para isso, vamos precisar de:
• Aplicar no eixo vertical.
• Resolver uma equação diferencial de 1ª ordem simples: .
• Aplicar
• Resolver uma equação diferencial de 1ª ordem simples:
Passo 2
Escrevendo a 2ª lei de Newton no sentido “para baixo é positivo” (tome isso só para simplificar):
• Peso para baixo: .
• Força viscosa para cima: .
Logo,
• Peso para baixo:
• Força viscosa para cima:
Logo,
Passo 3
Vamos rearranjar para isolar a derivada:
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. O esquema pra resolver é achar solução geral da homogênea e depois uma particular.
Passo 4
- Homogênea:
2) Particular: como o termo independe de, a gente tenta constante. Substituindo em , dá
- Solução geral:
Se a gotícula parte do repouso em
Logo
Passo 5
Para
, o termo
, sobram só
Esse é o valor limite, quando a aceleração vai a zero e a força de peso fica igualzinha à força viscosa.
Resposta
A velocidade limite (constante) da gotícula, na ausência de campo elétrico, é