(15)Duas cargas positivas de valor Q são mantidas fixas à distância d entre si. Uma carga negativa -q é colocada no meio da linha que une as cargas Q, de modo que a força sobre ela é nula.
(b)Mostre que o período de oscilação da carga -q em torno da posição de equilíbrio é dado por T=(epsilon0 m pi^3 d^3 / q Q)^1 / 2. (Sugestão: um oscilador harmônico de constante de força k e massa m, tem uma frequência de oscilação dada por w=raizk / m e o período do movimento oscilatório é dado por T=2 pi / omega.)

Passo 1

Beleza, o exercício fala de duas cargas positivas iguais T ;=;l(varepsilon0,m,pi^3,d^3q,Qr)^1/2 separadas por uma distância e, no meio delas, colocamos uma carga negativa . Você precisa mostrar que, ao deslocar um pouquinho essa carga em torno do ponto médio, ela oscila como um pêndulo harmônico com período
Conteúdo: força de Coulomb, pequena perturbação (Taylor binomial) e oscilador harmônico (constante elástica efetiva , e ). A gente vai precisar:
  1. calcular a força resultante sobre deslocado de do centro;
  2. fazer a expansão para e identificar ;
  3. usar .

Passo 2

Vamos colocar coordenadas: as cargas F1 = -,14pivarepsilon0,Q,ql(tfrac d2 + xr)^2 (direção para a esquerda) ficam em F2 = +,14pivarepsilon0,Q,ql(tfrac d2 - xr)^2 (direção para a direita) e . A carga está em , bem perto de zero. A força de Coulomb de cada sobre é
çã
çã
Aqui o sinal já indica o senso da força.

Passo 3

A força total é
F(x)=F1+F2 =14pivarepsilon0,Qq, l[1(tfrac d2 - x)^2-1(tfrac d2 + x)^2r]

Passo 4

Para oscilações pequenas ( 1(tfrac d2 pm x)^2 =1(d/2)^2,l(1mp2xdr)^-2 approx4d^2,l(1pm 2,tfracxdr) ), usamos a expansão binomial:
1(tfrac d2 - x)^2-1(tfrac d2 + x)^2 approx 4d^2,l[1+2tfrac x d - (1-2tfrac x d)r] =4d^2,l(4,xdr) =16,xd^3
Logo
F(x)approx 14pivarepsilon0,Qq;16,xd^3 =-l(underbrace4,Qqpivarepsilon0,d^3krm effr),x,
Substituindo em krm eff=4,Qqpivarepsilon0,d^3 ,
ou seja, é da forma com

Passo 5

Num oscilador harmônico, T = 2piraizmkrm eff =2piraizm,pivarepsilon0,d^34,Qq =raizpi^3,varepsilon0,m,d^3q,Q, e . Então

Resposta

boxedT=l(varepsilon0,m,pi^3,d^3q,Qr)^!1/2

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