(15)Duas cargas positivas de valor são mantidas fixas à distância entre si. Uma carga negativa é colocada no meio da linha que une as cargas , de modo que a força sobre ela é nula.
(b)Mostre que o período de oscilação da carga em torno da posição de equilíbrio é dado por . (Sugestão: um oscilador harmônico de constante de força e massa , tem uma frequência de oscilação dada por e o período do movimento oscilatório é dado por .)
Passo 1
Beleza, o exercício fala de duas cargas positivas iguais separadas por uma distância e, no meio delas, colocamos uma carga negativa . Você precisa mostrar que, ao deslocar um pouquinho essa carga em torno do ponto médio, ela oscila como um pêndulo harmônico com período
Conteúdo: força de Coulomb, pequena perturbação (Taylor binomial) e oscilador harmônico (constante elástica efetiva , e ). A gente vai precisar:
calcular a força resultante sobre deslocado de do centro;
fazer a expansão para e identificar ;
usar .
Passo 2
Vamos colocar coordenadas: as cargas ficam em e . A carga está em , bem perto de zero. A força de Coulomb de cada sobre é
Aqui o sinal já indica o senso da força.
Passo 3
A força total é
Passo 4
Para oscilações pequenas (), usamos a expansão binomial:
Logo
Substituindo em ,
ou seja, é da forma com
Passo 5
Num oscilador harmônico, T = 2piraizmkrm eff =2piraizm,pivarepsilon0,d^34,Qq =raizpi^3,varepsilon0,m,d^3q,Q, e . Então