-•15 Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento retilíneo comum, de comprimento A. As duas partículas têm um período de 1,5 \mathrm{~s}, mas existe uma diferença de fase de \pi / 6 \mathrm{rad} entre os movimentos. (a) Qual é a distância entre as partículas (em termos de A ) 0,50 \mathrm{~s} após a partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória? (b) Nesse instante, as partículas estão se movendo no mesmo sentido, estão se aproximando uma da outra, ou estão se afastando uma da outra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
Duas partículas oscilam ao longo do mesmo segmento retilíneo de comprimento A.
O período de cada oscilação é T=1{,}5\\ \mathrm{s}.
A diferença de fase entre os movimentos é \Delta\varphi=\pi/6\\ \mathrm{rad}.
Consideramos o instante t=0{,}50\\ \mathrm{s} após a partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória (esse instante é o ponto de referência temporal para as posições e velocidades).
Perguntas:
(a) Qual é a distância entre as partículas, expressa em termos de A, nesse instante?
(b) Nesse instante, as partículas estão se movendo no mesmo sentido? E estão se aproximando ou se afastando?
Passo 2
Escolhas e convenções (explicando por que e o que significam as escolhas):
O segmento de comprimento A tem duas extremidades, então o deslocamento máximo a partir do centro (amplitude) é metade disso. Logo a amplitude da oscilação é \dfrac{A}{2}. Vou explicar: amplitude é a distância do ponto médio até um extremo; se o total entre extremos é A, cada extremo fica a A/2 do centro.
Vou chamar a partícula “1” a partícula atrasada (a que passa por uma extremidade em t=0) e a partícula “2” a outra. Para fixar referência escolho a convenção conveniente: quando a partícula 1 passa pela extremidade na qual x=+\dfrac{A}{2} tomo isso como t=0. Essa escolha só fixa a fase inicial de referência e gera uma solução válida para a distância e para os sentidos dos movimentos; se escolhesse a extremidade oposta obteríamos a mesma resposta sobre distância e as mesmas conclusões qualitativas (apenas sinais trocariam de forma consistente).
Passo 3
Fórmula geral do movimento harmônico simples (vamos aprender isso direitinho):
Uma partícula em MHS com amplitude X_0, pulsação \omega e fase inicial \varphi_0 tem posição
x(t) = X_0\cos(\omega t+\varphi_0).
Aqui X_0 é a amplitude (distância máxima ao centro), \omega é a pulsação angular (medida em rad/s) e \varphi_0 é a fase inicial (em radianos), que desloca no tempo a função cosseno.
A pulsação \omega relaciona-se com o período T por
Explicando: a derivada de \cos é -\sin e aparece o fator \omega pela regra da cadeia; v tem sinal que indica sentido (positivo para um sentido, negativo para o outro conforme a orientação do eixo).
Ambos v_{1} e v_{2} são negativos, portanto as duas partículas estão se movendo no mesmo sentido (o sentido negativo do eixo; chamei de “para a esquerda”).
Para saber se se aproximam ou se afastam: observe as posições numéricas encontradas antes: x_{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}A e x_{1}=-\dfrac{1}{4}A. Assim x_{2}<x_{1}, ou seja, a partícula 2 está mais à esquerda e a partícula 1 está à direita dela.
A taxa de variação da separação (gap) g=x_{1}-x_{2} é \dot g = v_{1}-v_{2}. Calculamos
Como \sqrt{3}-1>0 e \omega>0, o resultado é negativo, isto é \dot g<0. Isso significa que a separação entre as partículas está diminuindo: elas estão se aproximando.
Intuição: a partícula direita (a 1) tem velocidade com maior magnitude para a esquerda (mais negativa), portanto ela se aproxima da que está à frente à esquerda.
Passo 9
Resumo curto e motivador: calculamos posições, depois velocidades; vimos que ambas se movem no mesmo sentido (para a esquerda) e que a diferença de posição está diminuindo, logo estão se aproximando. Parabéns, mesmo com fase diferente deu tudo certo seguindo passo a passo — essa é a estratégia que funciona na prova!
Resposta
\displaystyle d=\frac{\sqrt{3}-1}{4}\,A
As partículas estão se movendo no mesmo sentido (para a esquerda) e estão se aproximando uma da outra.