São pendurados em uma viga horizontal nove pêndulos com os seguintes comprimentos: (i) 6,2 m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências angulares no intervalo de
a
. Quais dos pêndulos entram (fortemente) em oscilação?
Passo 1
O enunciado diz que uma viga horizontal tem pendurados nove pêndulos (lista de comprimentos não foi completamente fornecida — só apareceu um comprimento:
). A viga sofre oscilações horizontais com frequência angular no intervalo
. A pergunta é: quais dos pêndulos entram (fortemente) em oscilação?
Informações relevantes dadas:
- Intervalo da frequência angular da força:
. - Comprimentos dos pêndulos: a lista de nove comprimentos não foi fornecida integralmente; foi dado apenas
. - Não há mais dados (amortecimento, ângulos, etc.), então usaremos o modelo clássico de pêndulo simples em pequenas oscilações.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
- Para um pêndulo simples de pequeno ângulo, o período natural
e a frequência angular natural são dados por fórmulas bem conhecidas. - A fórmula do período é
, onde: -
é o comprimento do pêndulo (em metros), -
é a aceleração da gravidade (em ).
-
- A frequência angular natural é
. - Aqui
tem unidades de .
- Aqui
- Interpretação física simples (sem jargões): se você empurra um pêndulo com uma força periódica cuja frequência angular
for próxima da frequência natural , a amplitude do pêndulo cresce muito — isso é ressonância / excitação forte. Portanto, um pêndulo será fortemente excitado quando cair dentro do intervalo de dado.
Passo 3
Transformando a condição de ressonância em condição sobre o comprimento:
- Condição para excitação forte:
. - Como
, podemos escrever - Elevando ao quadrado (tudo positivo, então a desigualdade preserva a ordem):
- Invertendo para obter
: - Agora vamos calcular numericamente esse intervalo usando a aproximação usual
.
Passo 4
Cálculo numérico dos limites do comprimento:
- Limite inferior (correspondente a
): - Limite superior (correspondente a
): - Portanto, no modelo de pêndulo simples, os pêndulos com comprimentos entre
terão frequência natural dentro do intervalo de excitação e, assim, serão fortemente excitados.
Passo 5
Interpretação prática e observações:
- “Entrar fortemente em oscilação” aqui significa que o comprimento
do pêndulo satisfaz . Pendulos mais curtos que têm (muito rápidos) e não ressoam com a força; pendulos mais longos que têm (muito lentos) e também não ressoam. - Em presença de amortecimento real, a faixa de excitação efetiva se alarga um pouco, mas sem dados de amortecimento a resposta ideal é usar o intervalo acima.
- Aplicação ao dado parcial: foi informado um pêndulo de comprimento
. Como , esse pêndulo é muito longo e sua é menor que ; portanto ele NÃO entra fortemente em oscilação segundo o critério.
Passo 6
Conclusão operacional para verificar os nove pêndulos:
- Para cada um dos nove comprimentos
que o seu professor indicou, basta conferir se - Se a desigualdade for verdadeira, o pêndulo
vai entrar fortemente em oscilação; caso contrário, não. - Como a lista completa dos nove comprimentos não foi fornecida, não posso enumerar quais especificamente entre os nove entrarão em oscilação — posso apenas dar o critério acima e já apliquei ao comprimento parcial informado (
).
Resposta
Pêndulos com comprimentos em
entram fortemente em oscilação.
O pêndulo de não entra fortemente em oscilação.
O pêndulo de