São pendurados em uma viga horizontal nove pêndulos com os seguintes comprimentos: (i) 6,2 m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências angulares no intervalo de 2,00 \mathrm{rad} / \mathrm{s} a 4,00 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Quais dos pêndulos entram (fortemente) em oscilação?

Passo 1

O enunciado diz que uma viga horizontal tem pendurados nove pêndulos (lista de comprimentos não foi completamente fornecida — só apareceu um comprimento: 6{,}2\\ \mathrm{m}). A viga sofre oscilações horizontais com frequência angular no intervalo \;2{,}00\\ \mathrm{rad/s}\le \omega_{\text{força}}\le 4{,}00\\ \mathrm{rad/s}\;ç. A pergunta é: quais dos pêndulos entram (fortemente) em oscilação?
Informações relevantes dadas:
  • Intervalo da frequência angular da força: \omega_{\text{força}}\in[2{,}00,\,4{,}00]\\ \mathrm{rad/s}ç.
  • Comprimentos dos pêndulos: a lista de nove comprimentos não foi fornecida integralmente; foi dado apenas 6{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Não há mais dados (amortecimento, ângulos, etc.), então usaremos o modelo clássico de pêndulo simples em pequenas oscilações.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Para um pêndulo simples de pequeno ângulo, o período natural \;T\; e a frequência angular natural \;\omega_0\; são dados por fórmulas bem conhecidas.
  • A fórmula do período é \;T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;, onde:
    • \;L\; é o comprimento do pêndulo (em metros),
    • \;g\; é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}).
  • A frequência angular natural é \;\omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=\sqrt{\dfrac{g}{L}}\;.
    • Aqui \omega_0 tem unidades de \mathrm{rad/s}.
  • Interpretação física simples (sem jargões): se você empurra um pêndulo com uma força periódica cuja frequência angular \omega_{\text{força}}ç for próxima da frequência natural \omega_0, a amplitude do pêndulo cresce muito — isso é ressonância / excitação forte. Portanto, um pêndulo será fortemente excitado quando \omega_0 cair dentro do intervalo de \omega_{\text{força}}ç dado.

Passo 3

Transformando a condição de ressonância em condição sobre o comprimento:
  • Condição para excitação forte: \omega_0\in[2{,}00,\,4{,}00]\\ \mathrm{rad/s}.
  • Como \omega_0=\sqrt{\dfrac{g}{L}}, podemos escrever \sqrt{\dfrac{g}{L}}\in[2{,}00,\,4{,}00].
  • Elevando ao quadrado (tudo positivo, então a desigualdade preserva a ordem): \dfrac{g}{L}\in[2{,}00^{2},\,4{,}00^{2}] = [4{,}00,\,16{,}0].
  • Invertendo para obter L: L\in\left[\dfrac{g}{16{,}0},\;\dfrac{g}{4{,}00}\right].
  • Agora vamos calcular numericamente esse intervalo usando a aproximação usual \;g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}\;.

Passo 4

Cálculo numérico dos limites do comprimento:
  • Limite inferior (correspondente a \omega=4{,}00\\ \mathrm{rad/s}): L_{\min}=\dfrac{g}{4{,}00^{2}}=\dfrac{9{,}80}{16{,}0}=\;0{,}6125\\ \mathrm{m}.
  • Limite superior (correspondente a \omega=2{,}00\\ \mathrm{rad/s}): L_{\max}=\dfrac{g}{2{,}00^{2}}=\dfrac{9{,}80}{4{,}00}=2{,}45\\ \mathrm{m}.
  • Portanto, no modelo de pêndulo simples, os pêndulos com comprimentos entre L\in[0{,}6125,\;2{,}45]\\ \mathrm{m}terão frequência natural dentro do intervalo de excitação e, assim, serão fortemente excitados.

Passo 5

Interpretação prática e observações:
  • “Entrar fortemente em oscilação” aqui significa que o comprimento L do pêndulo satisfaz \;0{,}6125\\ \mathrm{m}\le L\le 2{,}45\\ \mathrm{m}\;. Pendulos mais curtos que 0{,}6125\\ \mathrm{m} têm \omega_0>4{,}00\\ \mathrm{rad/s} (muito rápidos) e não ressoam com a força; pendulos mais longos que 2{,}45\\ \mathrm{m} têm \omega_0<2{,}00\\ \mathrm{rad/s} (muito lentos) e também não ressoam.
  • Em presença de amortecimento real, a faixa de excitação efetiva se alarga um pouco, mas sem dados de amortecimento a resposta ideal é usar o intervalo acima.
  • Aplicação ao dado parcial: foi informado um pêndulo de comprimento 6{,}2\\ \mathrm{m}. Como 6{,}2\\ \mathrm{m}>2{,}45\\ \mathrm{m}, esse pêndulo é muito longo e sua \omega_0 é menor que 2{,}00\\ \mathrm{rad/s}; portanto ele NÃO entra fortemente em oscilação segundo o critério.

Passo 6

Conclusão operacional para verificar os nove pêndulos:
  • Para cada um dos nove comprimentos L_i que o seu professor indicou, basta conferir se 0{,}6125\\ \mathrm{m}\le L_i\le 2{,}45\\ \mathrm{m}.
  • Se a desigualdade for verdadeira, o pêndulo i vai entrar fortemente em oscilação; caso contrário, não.
  • Como a lista completa dos nove comprimentos não foi fornecida, não posso enumerar quais especificamente entre os nove entrarão em oscilação — posso apenas dar o critério acima e já apliquei ao comprimento parcial informado ( 6{,}2\\ \mathrm{m}).

Resposta

Pêndulos com comprimentos em [0{,}6125\\ \mathrm{m},\;2{,}45\\ \mathrm{m}] entram fortemente em oscilação.
O pêndulo de 6{,}2\\ \mathrm{m} não entra fortemente em oscilação.

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