-7 Um alto-falante produz um som musical por meio das oscilações de um diafragma cuja amplitude é limitada a 1,00 \mu \mathrm{~m}. (a) Para que frequência o módulo a da aceleração do diafragma é igual a g ? (b) Para frequências maiores, a é maior ou menor que g ?

Passo 1

O enunciado dá que o diafragma do alto-falante oscila com amplitude limitada a \,1{,}00\\ \mu\mathrm{m}\, e pede duas coisas:
  1. (a) Para que frequência o módulo da aceleração do diafragma é igual a g (ou seja, |a|=g)?
  2. (b) Para frequências maiores que o resultado da letra (a), o módulo da aceleração é maior ou menor que g?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A = 1{,}00\\ \mu\mathrm{m} = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
g = 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}

Passo 2

Modelo físico e notação: vamos assumir que o movimento do diafragma é um movimento harmônico simples (isso é o caso típico para pequenas oscilações sonoras). Representamos o deslocamento em função do tempo por
x(t) = A\cos(\omega t),
onde:
  • \,x(t)\, é o deslocamento instantâneo do diafragma (em metros),
  • \,A\, é a amplitude máxima do movimento (em metros),
  • \,\omega\, é a frequência angular (em rad/s),
  • \,t\, é o tempo (em s).
Explicando pequeno detalhe: a escolha de \cos(\omega t) é só uma convenção; qualquer fase inicial não muda a amplitude máxima da aceleração.

Passo 3

Encontrar a aceleração requer derivar x(t) duas vezes em relação ao tempo. Primeiro derivamos para obter a velocidade:
v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t).
Agora derivamos de novo para obter a aceleração:
a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\cos(\omega t).
Explicação didática: cada derivada em relação a t traz um fator \omega quando a função depende de \omega t. Por isso a aceleração tem o fator \omega^2.

Passo 4

A magnitude máxima (ou amplitude) da aceleração é obtida tomando o valor máximo absoluto de a(t). Como \cos(\omega t) varia entre -1 e 1, o módulo máximo da aceleração é
a_{\text{max}} = A\omega^2.
Isto significa que, para movimento harmônico simples, a aceleração máxima cresce com o quadrado da frequência angular e é proporcional à amplitude.
Pequeno exemplo concreto: se \omega dobra, \omega^2 quadruplica, então a aceleração máxima aumenta 4 vezes.

Passo 5

Queremos que o módulo da aceleração seja igual a g. Assim impomos
A\omega^2 = g.
Resolvendo para \omega:
\omega = \sqrt{\frac{g}{A}}.
Aqui \omega está em rad/s. Em prova, é comum pedir a frequência em hertz f, relacionada por \omega = 2\pi f. Vamos seguir esse caminho.

Passo 6

Usando \omega = 2\pi f, temos
2\pi f = \sqrt{\frac{g}{A}}
e portanto
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{A}}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{g}{A} = \frac{9{,}80}{1{,}00\times10^{-6}} = 9{,}80\times10^{6}\\ \mathrm{s^{-2}}.
\sqrt{\frac{g}{A}} = \sqrt{9{,}80\times10^{6}} = \sqrt{9{,}80}\times10^{3}\approx 3{,}130495\times10^{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora
f = \frac{3{,}130495\times10^{3}}{2\pi} \approx \frac{3130{,}495}{6{,}283185} \approx 498{,}1\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando coerentemente com os dados (três algarismos significativos em A), obtemos f \approx 498\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Interpretação e resposta à parte (b): como vimos, a_{\text{max}} = A\omega^2 e \omega = 2\pi f, então
a_{\text{max}} = A(2\pi f)^2 = A(2\pi)^2 f^2.
Isto mostra que o módulo da aceleração cresce com o quadrado da frequência f. Portanto, para frequências maiores do que o valor encontrado na letra (a), teremos a_{\text{max}} > g. Em palavras amigáveis: subir a frequência faz a aceleração aumentar rápido (proporcional a f^2), então ultrapassa g.
Exemplo numérico rápido para intuição: se duplicarmos f, a_{\text{max}} fica 4 vezes maior.

Resposta

(a) f \approx 498\\ \mathrm{Hz}
(b) Para frequências maiores, o módulo da aceleração é maior que g (ou seja, a>g).

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