-7 Um alto-falante produz um som musical por meio das oscilações de um diafragma cuja amplitude é limitada a
. (a) Para que frequência o módulo
da aceleração do diafragma é igual a
? (b) Para frequências maiores,
é maior ou menor que
?
Passo 1
O enunciado dá que o diafragma do alto-falante oscila com amplitude limitada a
e pede duas coisas:
- (a) Para que frequência o módulo da aceleração do diafragma é igual a
(ou seja, )? - (b) Para frequências maiores que o resultado da letra (a), o módulo da aceleração é maior ou menor que
?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Modelo físico e notação: vamos assumir que o movimento do diafragma é um movimento harmônico simples (isso é o caso típico para pequenas oscilações sonoras). Representamos o deslocamento em função do tempo por
onde:
-
é o deslocamento instantâneo do diafragma (em metros), -
é a amplitude máxima do movimento (em metros), -
é a frequência angular (em rad/s), -
é o tempo (em s).
Explicando pequeno detalhe: a escolha de
é só uma convenção; qualquer fase inicial não muda a amplitude máxima da aceleração.
Passo 3
Encontrar a aceleração requer derivar
duas vezes em relação ao tempo. Primeiro derivamos para obter a velocidade:
Agora derivamos de novo para obter a aceleração:
Explicação didática: cada derivada em relação a
traz um fator
quando a função depende de
. Por isso a aceleração tem o fator
.
Passo 4
A magnitude máxima (ou amplitude) da aceleração é obtida tomando o valor máximo absoluto de
. Como
varia entre
e
, o módulo máximo da aceleração é
Isto significa que, para movimento harmônico simples, a aceleração máxima cresce com o quadrado da frequência angular e é proporcional à amplitude.
Pequeno exemplo concreto: se
dobra,
quadruplica, então a aceleração máxima aumenta 4 vezes.
Passo 5
Queremos que o módulo da aceleração seja igual a
. Assim impomos
Resolvendo para
:
Aqui
está em rad/s. Em prova, é comum pedir a frequência em hertz
, relacionada por
. Vamos seguir esse caminho.
Passo 6
Usando
, temos
e portanto
Substituindo os valores numéricos:
Agora
Arredondando coerentemente com os dados (três algarismos significativos em
), obtemos
.
Passo 7
Interpretação e resposta à parte (b): como vimos,
e
, então
Isto mostra que o módulo da aceleração cresce com o quadrado da frequência
. Portanto, para frequências maiores do que o valor encontrado na letra (a), teremos
. Em palavras amigáveis: subir a frequência faz a aceleração aumentar rápido (proporcional a
), então ultrapassa
.
Exemplo numérico rápido para intuição: se duplicarmos
,
fica 4 vezes maior.
Resposta
(a)
(b) Para frequências maiores, o módulo da aceleração é maior que (ou seja,
).
(b) Para frequências maiores, o módulo da aceleração é maior que