-4 Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser considerado como estando apoiado em quatro molas iguais. Suponha que as molas de um carro sejam ajustadas de tal forma que as oscilações tenham uma frequência de
. (a) Qual é a constante elástica de cada mola se a massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída pelas molas? (b) Qual é a frequência de oscilação se cinco passageiros, pesando, em média,
, entram no carro e a distribuição de massa é uniforme?
Passo 1
O que o exercício pede e o que foi dado\n
- Perguntas: (a) Qual é a constante elástica de cada mola? (b) Qual é a frequência de oscilação quando entram cinco passageiros de
cada, com distribuição uniforme?\n - Dados importantes do enunciado:
- Massa total do carro:
. - O carro está apoiado em quatro molas idênticas.
- Frequência das oscilações inicialmente:
. - Cada passageiro tem massa
e são passageiros (massa total adicional será calculada).
- Massa total do carro:
- Suposição usada (diz o enunciado): massa está igualmente distribuída pelas quatro molas (ou seja, comportamento simétrico).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática e simples\n
- Oscilador massa-mola simples: um corpo de massa
ligado a uma mola de constante elástica executa movimento harmônico simples com frequência angular dada por
Aqui
tem unidade de rad/s;
tem unidade de N/m;
tem unidade de kg.\n
- Relação entre frequência (Hz) e frequência angular:
onde
é a frequência em Hz (oscilações por segundo).\n
- Molas em paralelo (como as quatro molas do carro, que sustentam o mesmo corpo): suas constantes somam. Se cada mola tem constante
, a constante efetiva total vertical é
Isso significa que, para a oscilação vertical do carro como um todo, podemos tratar o carro como uma massa
presa a uma única mola de constante
.\n
- Então, para a oscilação vertical do carro inteiro:
e, passando para frequência,
Obs.: outra forma de ver é dividir a massa igualmente: cada mola “veria” uma massa
, e para cada mola isolada
, gera a mesma expressão.\n
- Vamos usar essas fórmulas para achar
no item (a) e a nova frequência no item (b).
Passo 3
Cálculo do item (a): encontrar a constante
de cada mola\n
- Começo isolando
na relação . Primeiro escrevo em função de :
- Substituo em
e isolo :
- Calculo numérico passo a passo:
-
-
- Uso
, então - Multiplico por
:
- Divido por
:
-
- Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com
e outros dados), obtenho
Interpretação rápida: cada mola é bem rígida — faz sentido para um carro.
Passo 4
Cálculo do item (b): nova frequência quando entram cinco passageiros\n
- Primeiro calculo a massa adicional dos passageiros:
- Nova massa total do carro mais passageiros:
- A constante de cada mola
não muda pelo fato de entrarem passageiros. A frequência nova satisfaz
- Podemos usar a relação entre as frequências inicial e final para evitar recalcular
numericamente: como (com constante), temos
Isso é prático e rápido na prova.\n
- Substituo valores:
- Razão das massas:
- Raiz quadrada:
- Então
- Arredondando para três algarismos significativos:
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)