-4 Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser considerado como estando apoiado em quatro molas iguais. Suponha que as molas de um carro sejam ajustadas de tal forma que as oscilações tenham uma frequência de 3,00 \mathrm{~Hz}. (a) Qual é a constante elástica de cada mola se a massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída pelas molas? (b) Qual é a frequência de oscilação se cinco passageiros, pesando, em média, 73,0 \mathrm{~kg}, entram no carro e a distribuição de massa é uniforme?

Passo 1

O que o exercício pede e o que foi dado\n
  • Perguntas: (a) Qual é a constante elástica de cada mola? (b) Qual é a frequência de oscilação quando entram cinco passageiros de 73,0\\ \mathrm{kg} cada, com distribuição uniforme?\n
  • Dados importantes do enunciado:
    • Massa total do carro: M=1450\\ \mathrm{kg}.
    • O carro está apoiado em quatro molas idênticas.
    • Frequência das oscilações inicialmente: f=3,00\\ \mathrm{Hz}.
    • Cada passageiro tem massa 73,0\\ \mathrm{kg} e são 5 passageiros (massa total adicional será calculada).
  • Suposição usada (diz o enunciado): massa está igualmente distribuída pelas quatro molas (ou seja, comportamento simétrico).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática e simples\n
  • Oscilador massa-mola simples: um corpo de massa m ligado a uma mola de constante elástica k executa movimento harmônico simples com frequência angular \omega dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega tem unidade de rad/s; k tem unidade de N/m; m tem unidade de kg.\n
  • Relação entre frequência (Hz) e frequência angular:
\omega=2\pi f,
onde f é a frequência em Hz (oscilações por segundo).\n
  • Molas em paralelo (como as quatro molas do carro, que sustentam o mesmo corpo): suas constantes somam. Se cada mola tem constante k, a constante efetiva total vertical é
k_{\text{eff}}=k+k+k+k=4k.
Isso significa que, para a oscilação vertical do carro como um todo, podemos tratar o carro como uma massa M presa a uma única mola de constante k_{\text{eff}}=4k.\n
  • Então, para a oscilação vertical do carro inteiro:
\omega=\sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{M}}=\sqrt{\frac{4k}{M}}
e, passando para frequência,
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4k}{M}}.
Obs.: outra forma de ver é dividir a massa igualmente: cada mola “veria” uma massa M/4, e para cada mola isolada \omega=\sqrt{k/(M/4)}=\sqrt{4k/M}, gera a mesma expressão.\n
  • Vamos usar essas fórmulas para achar k no item (a) e a nova frequência no item (b).

Passo 3

Cálculo do item (a): encontrar a constante k de cada mola\n
  • Começo isolando k na relação \omega=\sqrt{4k/M}. Primeiro escrevo \omega em função de f:
\omega=2\pi f.
  • Substituo em \omega^2=\dfrac{4k}{M} e isolo k:
\omega^2=\frac{4k}{M}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{M\omega^2}{4}.
  • Calculo numérico passo a passo:
    • \omega=2\pi f=2\pi\cdot 3{,}00=6\pi\\ \text{rad/s}.
    • \omega^2=(6\pi)^2=36\pi^2.
    • Uso \pi^2\approx 9{,}8696, então 36\pi^2\approx 355{,}3056.
    • Multiplico por M=1450\\ \mathrm{kg}:
    M\omega^2 \approx 1450\times 355{,}3056 \approx 515193{,}12.
    • Divido por 4:
    k=\frac{515193{,}12}{4}\approx 128798{,}28\\ \mathrm{N/m}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com f=3{,}00\\ \mathrm{Hz} e outros dados), obtenho
k\approx 1{,}29\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação rápida: cada mola é bem rígida — faz sentido para um carro.

Passo 4

Cálculo do item (b): nova frequência quando entram cinco passageiros\n
  • Primeiro calculo a massa adicional dos passageiros:
m_{\text{pass}}=5\times 73{,}0\\ \mathrm{kg}=365\\ \mathrm{kg}.
  • Nova massa total do carro mais passageiros:
M'=M+m_{\text{pass}}=1450+365=1815\\ \mathrm{kg}.
  • A constante de cada mola k não muda pelo fato de entrarem passageiros. A frequência nova f' satisfaz
f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4k}{M'}}.
  • Podemos usar a relação entre as frequências inicial e final para evitar recalcular k numericamente: como f\propto 1/\sqrt{M} (com k constante), temos
f' = f\sqrt{\frac{M}{M'}}.
Isso é prático e rápido na prova.\n
  • Substituo valores:
    • Razão das massas:
    \frac{M}{M'}=\frac{1450}{1815}\approx 0{,}798899.
    • Raiz quadrada:
    \sqrt{\frac{M}{M'}}\approx \sqrt{0{,}798899}\approx 0{,}89494.
    • Então
    f' = 3{,}00\times 0{,}89494\approx 2{,}6848\\ \mathrm{Hz}.
  • Arredondando para três algarismos significativos:
f'\approx 2{,}68\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) k=1{,}29\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m}\n
(b) f'=2{,}68\\ \mathrm{Hz}

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