[15] Uma empresa consegue produzir até 1000 parafusos por dia. O preço p do parafuso varia de acordo com a quantidade produzida. O rendimento R da produção é dado por R(x)=x p(x) e o lucro L é dado por L(x)=R(x)-C(x), onde C(x) é o custo para produzir x parafusos. Determine o nível de produção diária que irá maximizar o lucro se
C(x)=1450+36 x-x^2+0,001 x^3, p(x)= 60-0,01 x, & se x <= 700 53, & se x>700

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos maximizar o lucro diário
sujeito a
e
O método: escrevemos , e comparamos com os valores nos pontos críticos e nas fronteiras.

Passo 2

Para x<=700 temos
R1(x)=x(60-0,01x)=60x-0,01x^2,
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L1(x)=60x-0,01x^2-l(1450+36x-x^2+0,001x^3r) =-0,001x^3+0,99x^2+24x-1450
Derivando,
L1'(x)=-0,003x^2+1,98x+24
Resolvendo L1'(x)=0:
-0,003x^2+1,98x+24=0 Longrightarrow 3x^2-1980x-24000=0
x=1980pmraiz1980^2+4cdot3cdot240006 approx1980pm2051,46
A única raiz em [0,700] é
xcapprox671,91

Passo 3

Para x>700 temos
R2(x)=53x,
L2(x)=53x-l(1450+36x-x^2+0,001x^3r) =-0,001x^3+x^2+17x-1450
Derivando,
L2'(x)=-0,003x^2+2x+17,
e a equação L2'(x)=0 dá raiz positiva em xapprox675,1, que porém satisfaz x<700. Como L2'(x)<0 para x>700, conclui-se que L2 é decrescente em (700,1000] e o máximo dessa parte ocorre em x=700.

Passo 4

Agora comparamos os valores de L nos candidatos:
xapprox671,91, x=700, x=1000
Calculando numericamente:
L1(671,91)approx158282, L(700)=L2(700)approx157450, L2(1000)<L2(700)
Portanto o maior valor de lucro ocorre em xapprox671,91.

Passo 5

Como x representa número de parafusos, adotamos a produção diária
xapprox672

Resposta

A produção diária que maximiza o lucro é aproximadamente 672 parafusos.

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