Encontre os pontos de mínimo e máximo da função no intervalo , em cada caso a seguir.
Passo 1
O enunciado pede os extremos (mínimos e máximos) de
f(x)=l|x^4-2x^3r|
no intervalo I=[0,3].
O conteúdo é otimização de função com valor absoluto, que exige: 1. encontrar onde o argumento do módulo zera; 2. escrever a função em dois ramos sem o módulo; 3. achar derivadas e pontos críticos; 4. avaliar candidatos e comparar.
Passo 2
Primeiro, achamos os zeros de x^4-2x^3:
x^4-2x^3=x^3(x-2)=0 Longrightarrow x=0 ou x=2
No intervalo [0,3], esses pontos dividem em dois ramos:
Para 0<= x<=2, x^4-2x^3<=0, então f(x)=-(x^4-2x^3)=2x^3-x^4
Para 2<= x<=3, x^4-2x^3>=0, então f(x)=x^4-2x^3
Passo 3
Derivamos em cada ramo e achamos pontos críticos internos.
1. Ramo 0<x<2:
f1(x)=2x^3-x^4, f1'(x)=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x)
Zera em x=0 (extremo) e em x=tfrac32in(0,2).
2. Ramo 2<x<3:
f2(x)=x^4-2x^3, f2'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)
Zera em x=0 e x=tfrac32, mas ambos não pertencem ao intervalo aberto (2,3). Logo, não há críticos internos em (2,3).
Além disso, consideramos os pontos de quebra x=0 e x=2 e o extremo x=3.