Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f no intervalo I, em cada caso a seguir.
f(x)=|x^4-2 x^3|, I=[0,3]

Passo 1

O enunciado pede os extremos (mínimos e máximos) de
f(x)=l|x^4-2x^3r|
no intervalo I=[0,3].
O conteúdo é otimização de função com valor absoluto, que exige:
1. encontrar onde o argumento do módulo zera;
2. escrever a função em dois ramos sem o módulo;
3. achar derivadas e pontos críticos;
4. avaliar candidatos e comparar.

Passo 2

Primeiro, achamos os zeros de x^4-2x^3:
x^4-2x^3=x^3(x-2)=0 Longrightarrow x=0 ou x=2
No intervalo [0,3], esses pontos dividem em dois ramos:
  • Para 0<= x<=2, x^4-2x^3<=0, então f(x)=-(x^4-2x^3)=2x^3-x^4
  • Para 2<= x<=3, x^4-2x^3>=0, então f(x)=x^4-2x^3

Passo 3

Derivamos em cada ramo e achamos pontos críticos internos.
1. Ramo 0<x<2:
f1(x)=2x^3-x^4, f1'(x)=6x^2-4x^3=2x^2(3-2x)
Zera em x=0 (extremo) e em x=tfrac32in(0,2).
2. Ramo 2<x<3:
f2(x)=x^4-2x^3, f2'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)
Zera em x=0 e x=tfrac32, mas ambos não pertencem ao intervalo aberto (2,3). Logo, não há críticos internos em (2,3).
Além disso, consideramos os pontos de quebra x=0 e x=2 e o extremo x=3.

Passo 4

Avaliamo-s f nos candidatos x=0,;tfrac32,;2,;3:
1. x=0:
f(0)=l|0^4-2cdot0^3r|=0
2. x=tfrac32:
fl(tfrac32r) =2l(tfrac32r)^3-l(tfrac32r)^4 =2cdot278-8116 =548-8116 =108-8116 =2716approx1,6875
3. x=2:
f(2)=l|2^4-2cdot2^3r|=|16-16|=0
4. x=3:
f(3)=l|3^4-2cdot3^3r|=|81-54|=27

Passo 5

Comparando os valores:
  • Mínimo global de f é 0, atingido em x=0 e x=2.
  • Máximo global de f é 27, atingido em x=3.

Resposta

Mínimos globais: x=0 e x=2, com f=0.
Máximo global: x=3, com f=27.

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