[16] Considere
um polinômio de grau 3. É possível encontrar uma relação entre os coeficientes
e
para que:
(a)
não tenha pontos críticos?
(b)
tenha um único ponto crítico?
(c)
tenha mais que um ponto crítico? Caso possível, qual o número máximo de pontos críticos distintos?
Nos casos (b) e (c), se for possível encontrar tal relação, exiba os pontos críticos em função de
e
e determine se são ou não são pontos de máximo ou mínimo local. O polinômio
pode ter máximo e/ou mínimo?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define o polinômio de grau 3
e pede condições sobre os coeficientes para que haja zero, um ou mais pontos críticos. Para achar pontos críticos de uma função polinomial, vamos precisar de cálculo elementar:
- derivada primeira
, - resolver
, o que leva a uma equação quadrática, - analisar o discriminante dessa quadrática,
- usar a segunda derivada para classificar os pontos quando existirem.
Passo 2
Calculamos
Trata-se de uma equação do tipo
. O discriminante dessa quadrática é
Passo 3
Para que não haja ponto crítico real, a equação
não pode ter raízes reais, isto é,
Logo, (a) não há pontos críticos se e somente se
.
Passo 4
Para ter exatamente um ponto crítico real, precisamos de raiz dupla em
, ou seja
Nesse caso a raiz é
Mas para classificar, usamos a segunda derivada
Em
temos
portanto
é um ponto de inflexão horizontal (não é nem máximo nem mínimo). Logo (b) há um único ponto crítico se e só se
, e ele não é nem máximo nem mínimo local.
Passo 5
Para ter mais de um ponto crítico, precisamos de duas raízes reais distintas em
, isto é
As duas raízes são
O número máximo de pontos críticos distintos de um polinômio de grau 3 é 2. Para classificar cada um, calculamos
Portanto
- em
temos , logo mínimo local; - em
temos , logo máximo local.
Resposta
(a)
: nenhum ponto crítico.
(b) : um ponto crítico
, é ponto de inflexão horizontal (nem máximo nem mínimo).
(c) : dois pontos críticos
(b)
(c)
sendo
mínimo local e
máximo local. O número máximo de pontos críticos distintos é 2.