[16] Considere p(t)=a t^3+b t^2+c t+d um polinômio de grau 3. É possível encontrar uma relação entre os coeficientes a, b, c e d para que:
(a) p não tenha pontos críticos?
(b) p tenha um único ponto crítico?
(c) p tenha mais que um ponto crítico? Caso possível, qual o número máximo de pontos críticos distintos?
Nos casos (b) e (c), se for possível encontrar tal relação, exiba os pontos críticos em função de a, b, c e d e determine se são ou não são pontos de máximo ou mínimo local. O polinômio p pode ter máximo e/ou mínimo?

Passo 1

O enunciado define o polinômio de grau 3
p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d
e pede condições sobre os coeficientes para que haja zero, um ou mais pontos críticos. Para achar pontos críticos de uma função polinomial, vamos precisar de cálculo elementar:
  1. derivada primeira p'(t),
  2. resolver p'(t)=0, o que leva a uma equação quadrática,
  3. analisar o discriminante dessa quadrática,
  4. usar a segunda derivada para classificar os pontos quando existirem.

Passo 2

Calculamos
p'(t)=3a,t^2+2b,t+c
Trata-se de uma equação do tipo 3a,t^2+2b,t+c=0. O discriminante dessa quadrática é
De<a=(2b)^2-4,(3a),c =4l(b^2-3acr)

Passo 3

Para que não haja ponto crítico real, a equação p'(t)=0 não pode ter raízes reais, isto é,
De<a<0 Long<=ftrightarrow b^2-3ac<0
Logo, (a) não há pontos críticos se e somente se b^2<3ac.

Passo 4

Para ter exatamente um ponto crítico real, precisamos de raiz dupla em p'(t), ou seja
De<a=0 Long<=ftrightarrow b^2-3ac=0
Nesse caso a raiz é
t0=-2b2cdot3a=-b3a
Mas para classificar, usamos a segunda derivada
p''(t)=6a,t+2b
Em t0 temos
p''(t0) =6al(-b3ar)+2b =-2b+2b=0,
portanto t0 é um ponto de inflexão horizontal (não é nem máximo nem mínimo). Logo (b) há um único ponto crítico se e só se b^2=3ac, e ele não é nem máximo nem mínimo local.

Passo 5

Para ter mais de um ponto crítico, precisamos de duas raízes reais distintas em p'(t), isto é
De<a>0 Long<=ftrightarrow b^2-3ac>0
As duas raízes são
t1,2 =-2bpmraiz4(b^2-3ac)2cdot3a =-bpmraiz,b^2-3ac,3a
O número máximo de pontos críticos distintos de um polinômio de grau 3 é 2. Para classificar cada um, calculamos
p''(t1,2) =6a,t1,2+2b =2l(-bpmraizb^2-3acr)+2b =pm2raizb^2-3ac
Portanto
  • em t1=-b+raizb^2-3ac3a temos p''(t1)=+2raizb^2-3ac>0, logo mínimo local;
  • em t2=-b-raizb^2-3ac3a temos p''(t2)=-2raizb^2-3ac<0, logo máximo local.

Resposta

(a) b^2-3ac<0: nenhum ponto crítico.
(b) b^2-3ac=0: um ponto crítico t=-tfracb3a, é ponto de inflexão horizontal (nem máximo nem mínimo).
(c) b^2-3ac>0: dois pontos críticos
t1,2=-bpmraizb^2-3ac3a,
sendo t1 mínimo local e t2 máximo local. O número máximo de pontos críticos distintos é 2.

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