Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f no intervalo I, em cada caso a seguir.
f(x)=x+1x^2+1, I=[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de mínimo e máximo da função
f(x)=x+1x^2+1
no intervalo fechado I=[-1,1]. Como f é contínua em I, podemos usar o teste de derivada: calculamos f'(x), achamos os pontos críticos onde f'(x)=0 dentro de I e comparamos os valores de f nesses pontos e nos extremos.

Passo 2

Usamos a regra do quociente para obter
f'(x) = (1)(x^2+1)-(x+1)cdot2x(x^2+1)^2 = x^2+1-2x^2-2x(x^2+1)^2 = -x^2-2x+1(x^2+1)^2
Para pontos críticos resolvemos o numerador igual a zero:
-x^2-2x+1=0 Longrightarrow x^2+2x-1=0 Longrightarrow x=-1pmraiz2

Passo 3

Dos dois resultados x=-1+raiz2 e x=-1-raiz2, apenas
xc=-1+raiz2approx0,414
pertence ao intervalo [-1,1]. O outro é menor que -1 e é descartado.

Passo 4

Agora avaliamos f nos candidatos: os extremos x=-1, x=1 e o crítico x=-1+raiz2.
f(-1)=-1+1(-1)^2+1=0,
f(1)=1+11^2+1=1,
fl(-1+raiz2r) =l(-1+raiz2r)+1l(-1+raiz2r)^2+1 =raiz2(3-2raiz2)+1 =raiz24-2raiz2 =raiz2+12approx1,207

Passo 5

Comparando os valores:
f(-1)=0, f(1)=1, f(-1+raiz2)=raiz2+12approx1,207,
vemos que o menor valor é 0 em x=-1 e o maior é tfracraiz2+12 em x=-1+raiz2.

Resposta

Ponto de mínimo: x=-1, com f(-1)=0.
Ponto de máximo: x=-1+raiz2, com f(-1+raiz2)=dfracraiz2+12.

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