Ex. 3.15 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaço vetorial V que geram U, W, U \cap W e U+W.
U=\left\{A \in M_{2} ; A^{t}=A\right\}, W=\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right], V=M_{2}.

Passo 1

O enunciado pede, para V=M_{2}, os conjuntos geradores de \;U=\{A\in M_{2}\mid A^{t}=A\}, \;W=\operatorname{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\Bigr\}, \;U\cap W e \;U+W.
Vamos usar noções de subespaço, dimensão e geradores (famílias que, por combinação linear, produzem todos os elementos do subespaço).

Passo 2

Caracterizamos U. Uma matriz simétrica A=(a_{ij}) satisfaz a_{12}=a_{21}. Logo
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix}
com a,b,c\in\mathbb{K}. Três parâmetros livres indicam \dim U=3. Uma família geradora (até base) é dada por
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}+E_{21}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Por definição,
W=\operatorname{span}\!\Bigl\{B\Bigr\}, \quad B=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Então basta tomar como gerador \;S_{W}=\{B\}.

Passo 4

Queremos U\cap W. Se B'= \alpha B estiver em U, então \alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} deve ser simétrica, o que exige \alpha=0.
Logo
U\cap W=\{0\}.
Um conjunto gerador é trivialmente \{0\}.

Passo 5

Pela fórmula de dimensão, \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=3+1-0=4,
e \dim M_{2}=4, logo U+W=M_{2}.
Para gerar U+W podemos unir os geradores de U com o de W.

Resposta

S_{U}=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\} S_{W}=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}\} S_{U\cap W}=\{0\} S_{U+W}=S_{U}\cup S_{W}=\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}

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