Ex. 3.15 Encontrar, em cada um dos itens abaixo, os subconjuntos S do espaço vetorial V que geram U, W, U \cap W e U+W. U=\left\{A \in M_{2} ; A^{t}=A\right\}, W=\left[\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right], V=M_{2}.
Passo 1
O enunciado pede, para V=M_{2}, os conjuntos geradores de \;U=\{A\in M_{2}\mid A^{t}=A\}, \;W=\operatorname{span}\!\Bigl\{\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\Bigr\}, \;U\cap W e \;U+W.
Vamos usar noções de subespaço, dimensão e geradores (famílias que, por combinação linear, produzem todos os elementos do subespaço).
Passo 2
Caracterizamos U. Uma matriz simétrica A=(a_{ij}) satisfaz a_{12}=a_{21}. Logo
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix}
com a,b,c\in\mathbb{K}. Três parâmetros livres indicam \dim U=3. Uma família geradora (até base) é dada por
Queremos U\cap W. Se B'= \alpha B estiver em U, então \alpha\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} deve ser simétrica, o que exige \alpha=0.
Logo
U\cap W=\{0\}.
Um conjunto gerador é trivialmente \{0\}.
Passo 5
Pela fórmula de dimensão, \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=3+1-0=4,
e \dim M_{2}=4, logo U+W=M_{2}.
Para gerar U+W podemos unir os geradores de U com o de W.