Ex. 3.14 Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto
, finito, que gere o subespaço vetorial
do espaço vetorial
.
.
Passo 1
O enunciado define
ou seja,
é o subespaço dos polinômios de grau
cuja derivada é identicamente zero. Vamos usar o fato de que um polinômio tem derivada nula em todo
se, e somente se, for constante.
Passo 2
Seja
. Como
para todo
, concluímos que
onde
é constante. Logo, todo elemento de
é da forma
.
Passo 3
Um conjunto gerador
de
deve permitir escrever qualquer
como combinação linear de elementos de
. Como todo
é
, basta o polinômio constante
. Assim,
é um conjunto finito que gera
.