Ex. 3.14 Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gere o subespaço vetorial W do espaço vetorial V.
W=\left\{p \in V \doteq \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) ; p^{\prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{\,p\in V=\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid p'(t)=0,\\ \forall t\in\mathbb{R}\}
ou seja, W é o subespaço dos polinômios de grau <=3 cuja derivada é identicamente zero. Vamos usar o fato de que um polinômio tem derivada nula em todo t se, e somente se, for constante.

Passo 2

Seja p\in W. Como p'(t)=0 para todo t, concluímos que
p(t)=c,
onde c\in\mathbb{R} é constante. Logo, todo elemento de W é da forma c\cdot1.

Passo 3

Um conjunto gerador S de W deve permitir escrever qualquer p\in W como combinação linear de elementos de S. Como todo p é c\cdot1, basta o polinômio constante 1. Assim,
S=\{1\}
é um conjunto finito que gera W.

Resposta

S=\{1\}

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